МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОПОТОКОВЫХ СЕТЕЙ СВЯЗИ С МНОЖЕСТВЕННЫМ ДОСТУПОМ

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Модель многопотоковой сети связи с множественным доступом 7
1.1 Функциональная модель 7
1.2 Математическая модель 8
2 Асимптотический анализ при условии большой задержки 12
2.1 Многомерный асимптотический анализ многопотоковой модели 12
2.1.1 Асимптотика первого порядка 13
2.1.2 Асимптотика второго порядка 15
2.2 Частный случай для двуклассовой модели 22
3 Имитационное моделирование 24
3.1 События системы 24
3.2 Модальное время 25
3.3 Алгоритм 26
3.4 Инструменты реализации и интерфейс 29
3.5 Примеры реализации 30
3.6 Расчет корреляционной матрицы 34
4 Численный анализ и область применимости результатов 39
5 Расчет показателей многопотоковой сети связи 49
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 54
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 56
ПРИЛОЖЕНИЕ А Листинг кода имитационной модели
Купить

Теория массового обслуживания (ТМО) - раздел прикладной математики и теории вероятностей, изучающий стохастические потоки заявок и процессы их обработки в различных системах: от телекоммуникаций до вычислительных сетей. Истоки ТМО связаны с именем датского инженера А.К. Эрланга, опубликовавшего в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», которая стала основополагающей в данной области.
Развитие ТМО в СССР связано с трудами А.Я. Хинчина [1], а также Б.В. Гнеденко и И.Н. Коваленко [2], которые систематизировали и расширили фундаментальные модели систем массового обслуживания, применяя аппарат марковских процессов и вариационные методы. Важнейшие элементы теории изложены также в работах П.П. Бочарова, А.В. Печинкина [3], Д. Кенинга [4], Л. Клейнрока [5], А.А. Назарова [6], а также в зарубежных исследованиях, например, R.I. Wilkinson [7].
Особое внимание в ТМО уделяется системам с повторными вызовами - Retrial Queueing System (RQ-система). Значительный вклад в эту область внес J.R. Artalejo, разработавший обширную классификацию и методы анализа RQ-систем, приоритезацией и конечными буферами. В его работе [8] представлены как аналитические решения, так и подходы к численному моделированию. RQ-системы - это модели, в которых заявки, обнаружив занятость каналов при попытке обслуживания, не покидают систему окончательно, а переходят в некий источник повторных вызовов (орбита) и через случайное время повторяют попытку обслуживания. Простым примером такой системы являются телефонные связи и современные телекоммуникации: абонент несколько раз набирает номер, пока не установит соединение. Включение повторных вызовов приводит к сложному поведению системы, и термин RQ-система укоренился в научной литературе. Дж. Коэн [9] в поздних 1960-70-х впервые математически проанализировал одноканальные RQ-системы, получив условия устойчивости стационарного режима и асимптотики числа занятых каналов при малой интенсивности повторов. В литературе J.G.Templeton и G.I. Falin [10] расширили эти результаты на более широкий класс моделей и вывели общие асимптотические формулы для ключевых вероятностных характеристик при малой загрузке. В их работе также отмечается, что RQ-системы встречаются в системах коммутации, телекоммуникационных и компьютерных сетях, где повторные вызовы возникают автоматически при отказе в обслуживании.
С развитием технологий появилось множество сценариев с гетерогенными (многопотоковыми, многоклассовыми) системами. Появились модели RQ-систем, учитывающие разные классы трафика и ограниченность ресурсов (multi-orbit). Так в работе [11] исследуется многоканальная очередь с повторными вызовами с двумя орбитами: в нее поступают два типа «позитивных» заявок (два класса пользователей) и «негативные» запросы, причем каждый положительный запрос требует некоторого ресурса, общая емкость которого ограничена. Если ресурса недостаточно, заявка идет на орбиту именно своего класса. Авторы получают стационарное распределение числа заявок разных типов на орбитах и применяют асимптотический анализ при большом времени ожидания.
В работе Е. Макеевой, И. Кочетковой и R. Alkanhel [12] предлагается модель SG-сети с двумя орбитами: одна орбита обслуживает прерванные и задержанные сессии eMBB, другая - URLLC. Применен матричный метод для анализа стационарного распределения и рассмотрены основные показатели: вероятности отказов и прерываний для разных стратегий приоритезации трафика.
В системах облачных и периферийных вычислений через RQ можно моделировать повторные запросы пользователей к виртуальным машинам или базам данных. Например, S.N Quarshi, V.Goswami и др. использовали M|M|1-очередь с повторными вызовами для оценки производительности IoT-Fog-Cloud инфраструктуры: их аналитическая модель позволяет получить выражения для интенсивностей поступления, обслуживания и повторных вызовов с целью соблюдения требований QoS [13]. Аналогичные идеи применяются при моделировании умных городов и IoT-сетей, где множество сенсоров и устройств периодически пытаются передать данные, и при отказе повторяют попытку несколько позже. Таким образом, RQ-модели находит отражение в актуальных исследованиях телекоммуникаций, облачных сервисов и IoT: об этом свидетельствуют современные публикации [14-27].
Настоящая работа посвящена исследованию многоклассовой RQ-системы M#|M#|1, где входной поток заявок формируется из нескольких пуассоновских потоков, каждому из которых соответствует свой класс заявок. Время обслуживания и орбитальное время ожидания заявок каждого класса распределены по экспоненциальному закону, но с разными параметрами. В работе проводится как асимптотический, так и имитационный анализ системы, а также сравнение результатов, полученных асимптотическими методами и в ходе «симуляций» многоорбитной системы.
Многомерный асимптотический анализ предполагает получение приближенного описания многомерного стационарного распределения процессов в системе при некоторых предельных режимах. Часто в таких анализах появляется многомерное нормальное распределение (гауссовская асимптотика). Например, такие работы встречаются у А.А.Назарова [28-31]. Подобные методы развивались многими исследователями ТМО и активно применяются в современных работах для приближенного анализа сложных сетей массового обслуживания.
Имитационное моделирование - это метод исследования, при котором реальная система заменяется ее компьютерной моделью, на которой проводят серии «экспериментов» [32-37]. С помощью имитации можно оценивать поведение сложных СМО с повторными вызовами и разнородным трафиком, когда аналитический расчет затруднен. Классические работы по имитационному моделированию систем массового обслуживания также подтверждают эффективность этого подхода. Таким образом, сочетание аналитики и имитации позволяет широко исследовать модели RQ-систем и применять их к реальным сетевым задачам.
Целью данной работы является исследование математической модели многопотоковых сетей связи в виде многоклассовой RQ-системы.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1. построение математической модели многопотоковой сети связи с множественным доступом в виде многоклассовой RQ-системы типа М#|МД 1;
2. применение метода асимптотического анализа в условии согласованно растущей задержки заявок на орбите;
3. разработка комплекса программ, реализующих имитационное моделирование исследуемой системы;
4. проведение численного анализа, определение области применимости асимптотических результатов.
В первой главе описана функциональная модель многопотоковой сети связи множественного доступа, включающая три ключевых класса трафика: URLLC (сверхнадежная связь с малой задержкой), eMBB (высокая пропускная способность) и mMTC (массовые подключения IoT-устройств). Предложена математическая модель системы в виде RQ-системы M#|M#| 1.
Во второй главе проведено исследование математической модели методом асимптотического анализа. Рассмотрен режим большой задержки заявок на орбитах, то есть среднее время ожидания на орбите значительно превышает среднее время обслуживания. Получены асимптотические оценки средних значений и корреляций числа заявок различных классов в системе, что позволяет прогнозировать поведение системы при различных входных параметрах.
Третья глава посвящена имитационному моделированию исследуемой системы, реализованному на языке C++. Модель воспроизводит динамику многоклассовой RQ- системы, включая обработку событий поступления, обслуживания и повторных попыток. Проведены эксперименты для 2-10 классов заявок, продемонстрировавшие масштабируемость модели и ее способность анализировать взаимодействие классов трафика.
В четвертой главе выполнен численный анализ и оценка точности асимптотических результатов. Сравнение с результатами имитационного моделирования показало, что погрешности средних значений и дисперсий не превышают 5% при слабой, умеренной и высокой задержке, что подтверждает возможность применимости результатов, в том числе для проектирования сетей связи.
Пятая глава содержит расчет эксплуатационных характеристик сети передачи данных при различных уровнях загрузки. Эмпирически выявлено экспоненциальное увеличение задержек для mMTC, низкая доступность URLLC и конкуренция между классами трафика. Корреляционный анализ показал переход от положительной к отрицательной корреляции между орбитами при росте нагрузки, что подчеркивает необходимость приоритезации трафика.
Купить