Оглавление 1
Введение 2
Глава 1 Гиперплоскости в пространствах непрерывных функций 3
1.1 Определение гиперплоскости. Изоморфность гиперплоскостей 3
1.2 Эквивалентность норм 3
Глава 2 Функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса. Линейный ограниченный
функционал на C(K) 6
2.1 Функции ограниченной вариации 6
2.2 Свойства функций ограниченной вариации 6
2.3 Монотонная функция 8
2.4 Интеграл Стилтьеса 9
2.5 Свойства интеграла Стилтьеса 9
2.5 Оценка интеграла Стилтьеса 10
2.6 Линейный ограниченный функционал на С(К) 12
Глава 3 Примеры гиперплоскостей, определенных с помощью различных мер 13
3.1 Мера Лебега, g 13
3.2 Мера Стилтьеса 13
3.3 Атомная мера 16
Глава 4 Преднормы 19
4.1 Определение 19
4.2 Примеры преднорм на различных пространствах 19
Литература 23
Функциональный анализ- это часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения.
Функциональный анализ как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 веков. Большую роль в формировании общих понятий функционального анализа сыграла созданная Георгом Кантором теория множеств. Развитие этой теории привело к возникновению в работах Мориса Фреше и Феликса Хаусдорфа метрической и более общей теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, то есть множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и функционального анализа оказались важными функциональные пространства (то есть пространства, элементами которых являются функции). В работах Давида Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства 12 и L (a, b) . Обобщая эти пространства, Фридьеш Рис изучил пространства I и L (a, b), а Стефан Банах в 1922 году выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства).
Для каждого элемента х банахова пространства определена норма ||х||- действительное число, обладающее свойствами длины вектора. Наличие нормы позволяет определить понятие расстояния между элементами х,у как числа ||х — у||, понятия шара, окрестности элемента, предельной точки множества, сходимости последовательности элементов и ряд других, обобщающих соответствующие понятия классического анализа.
Одновременно с развитием и обобщением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. Так, в вариационном исчислении рассматриваются переменные величины, зависящие не от числового аргумента, а от некоторой линии (функции). Такие величины получили название функционалов.
Функционал - это числовая функция, определённая на некотором функциональном пространстве. В дальнейшем под функционалом стали понимать числовую функцию, определённую на произвольном (чаще всего векторном) пространстве. На функционалы были перенесены такие основные понятия и операции классического анализа, как непрерывность и предельный переход. Понятие функционала играет первостепенную роль в функциональном анализе, отсюда и возник сам термин «функциональный анализ».
В данной работе будут рассматриваться банаховы пространства. Перед авторкой стояла задача изучить линейные непрерывные функционалы на банаховых пространствах. Также в работе рассмотрены такие понятия, как гиперплоскости и их изоморфность, эквивалентные нормы, функции ограниченной вариации, интеграл Стилтьеса, некоторые примеры гиперплоскостей, заданных с помощью различных мер, а также преднормы и их примеры.
