Помощь студентам в учебе
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕСПРОВОДНЫХ СЕТЕЙ СВЯЗИ С МИГРАЦИЕЙ АБОНЕНТОВ
|
АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Системная модель 7
2 Математическая модель с экспоненциальным распределением
времени успешного обслуживания 9
2.1 Решение в условии эквивалентности уравнений локального и глобального баланса 11
2.2 Метод асимптотического анализа 13
2.2.1 Асимптотика первого порядка 13
2.2.2 Асимптотика второго порядка 14
3 Математическая модель с произвольным распределением вероятностей времени успешного обслуживания 18
3.1 Представление в виде СеМО 19
3.2 Вычисление условных вероятностей нахождения заявки
в к-м состоянии 20
3.3 Метод динамического просеивания 23
3.4 Метод асимптотического анализа 24
4 Имитационная модель 26
4.1 Общая модель имитационного моделирования 27
4.2 Обработка пришедшей заявки 30
4.3 Моделирование моментов наступления событий системы 31
4.4 Изменение состояния системы 33
4.5 Сбор статистики 34
4.6 Вспомогательный модуль определения параметров моделирования 36
4.7 Использованные технологии 38
4.8 Пример использования программы имитационного моделирования 39
4.9 Оценка точности имитационной модели 40
5 Точность теоретической аппроксимации 44
5.1 Экспоненциальное распределение времени обслуживания 44
5.2 Гамма-распределение времени обслуживания 48
5.3 Алгоритм численных расчетов вероятностных характеристик системы 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
ЛИТЕРАТУРА 60
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Системная модель 7
2 Математическая модель с экспоненциальным распределением
времени успешного обслуживания 9
2.1 Решение в условии эквивалентности уравнений локального и глобального баланса 11
2.2 Метод асимптотического анализа 13
2.2.1 Асимптотика первого порядка 13
2.2.2 Асимптотика второго порядка 14
3 Математическая модель с произвольным распределением вероятностей времени успешного обслуживания 18
3.1 Представление в виде СеМО 19
3.2 Вычисление условных вероятностей нахождения заявки
в к-м состоянии 20
3.3 Метод динамического просеивания 23
3.4 Метод асимптотического анализа 24
4 Имитационная модель 26
4.1 Общая модель имитационного моделирования 27
4.2 Обработка пришедшей заявки 30
4.3 Моделирование моментов наступления событий системы 31
4.4 Изменение состояния системы 33
4.5 Сбор статистики 34
4.6 Вспомогательный модуль определения параметров моделирования 36
4.7 Использованные технологии 38
4.8 Пример использования программы имитационного моделирования 39
4.9 Оценка точности имитационной модели 40
5 Точность теоретической аппроксимации 44
5.1 Экспоненциальное распределение времени обслуживания 44
5.2 Гамма-распределение времени обслуживания 48
5.3 Алгоритм численных расчетов вероятностных характеристик системы 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
ЛИТЕРАТУРА 60
Важной особенностью сетей связи пятого поколения (5G) является использование миллиметровых волн высоких частот, что может обеспечить высокую скорость и низкую задержку передачи сигнала [53]. Но при высоких частотах миллиметровых волн распространение радиосигнала намного слабее, чем в низких диапазонах. Сигнал блокируется [20] листвой, зданиями и людьми. Для решения такой проблемы необходимо уплотнять сеть, а это означает, что необходимы затраты на установку дополнительных базовых станций (БС), прокладку волоконных траншей и лицензирование земли для данных нужд.
Integrated Access and Backhaul (IAB) - технология, которая обеспечивает быстрое и экономичное развертывание на миллиметровых волнах (mmWave) за счет самоподключения в том же спектре [40, 29]. Беспроводная автономная обратная передача использует один и тот же беспроводной канал для покрытия и подключения к другим БС, что приводит к повышению производительности, более эффективному использованию ресурсов спектра и снижению затрат на оборудование, а также снижает зависимость от наличия проводной обратной передачи в каждом местоположении узла доступа [54, 37].
Для моделирвоания абонентских сетей связи [8, 42] активно исполь- зуетсся аппарат тоерии массового обслуживания (ТМО) [7]. Рассматриваемые в ТМО математические модели способны описать процесс обслуживания заявок (абонентов, устройств) на приборе (сервере, БС). Впервые подобная математическая модель была сформулирована А. К. Эрлангом в начале XX века и была предназначена для решения задач в области телефонии [38]. С увеличением требований накладываемых на новые поколения связи и изменением сценария поведения пользователя предоставляемых услуг мобильного интернета изменяются и математические модели, описывающие подобные процессы.
В работе [25] рассматривается модель одного узла сети IAB в виде поллинговой системы [5] с двумя очередями. Заявками в данной системе являются пакеты, которые поступают от родительского узла (нисходящий канал) или пакеты поступающие от абонентских устройств (восходящий канал).
Еще одним популярным способом моделирования поведения базовой станции являются ресурсные системы массового обслуживания (РСМО) [30, 32], в которых может быть учтен радио-ресурс необходимый для отправки и передачи пакетов или обслуживания клиента сотовой связи.
В приведенных выше работах авторы рассматривают один узел сети связи, что позволяет оценить число необходимых радио-ресурсов, время задержки пакетов, распределение числа заявок пользователей в системе для одной БС. Масштабирование подобных СМО для моделирования сетей связи с учетом возможных потерь сигнала, перемещения пользователей внутри сети является трудоемкой задачей ввиду высокой детализации СМО исходя из реальных характеристик системы.
С помощью имитационного моделирования [33] возможно оценить числовые характеристики абонентской сети связи [51], которые будут получены исходя из модели распространения сигнала БС, размера и количества передаваемых пакетов, требований к задержке получения/передачи сигнала, вида трафика и прочих параметров реальной системы [35].
Аналитические методы позволяют провести наиболее полное исследование модели в сравнении с имитационным моделированием. В некоторых случаях удается применить методы оптимизации [26, 21] для оценки работы системы. Однако при переходе от реальной модели к математической возникает необходимость в упрощении реальной системы [1]. Однако, актуальность исследования математических моделей абонентских сетей с ростом технологий увеличивается.
Исходя из этого, целью данной работы является исследование математической модели абонентской сети связи в виде систем массового обслуживания. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1. Разработать математические модели абонентской сети с миграцией абонентов в виде СМО.
2. Провести исследование предложенных математических моделей.
3. Разработать программу имитационного моделирования.
4. Провести серию численных экспериментов и оценить точность полученных аппроксимаций.
Integrated Access and Backhaul (IAB) - технология, которая обеспечивает быстрое и экономичное развертывание на миллиметровых волнах (mmWave) за счет самоподключения в том же спектре [40, 29]. Беспроводная автономная обратная передача использует один и тот же беспроводной канал для покрытия и подключения к другим БС, что приводит к повышению производительности, более эффективному использованию ресурсов спектра и снижению затрат на оборудование, а также снижает зависимость от наличия проводной обратной передачи в каждом местоположении узла доступа [54, 37].
Для моделирвоания абонентских сетей связи [8, 42] активно исполь- зуетсся аппарат тоерии массового обслуживания (ТМО) [7]. Рассматриваемые в ТМО математические модели способны описать процесс обслуживания заявок (абонентов, устройств) на приборе (сервере, БС). Впервые подобная математическая модель была сформулирована А. К. Эрлангом в начале XX века и была предназначена для решения задач в области телефонии [38]. С увеличением требований накладываемых на новые поколения связи и изменением сценария поведения пользователя предоставляемых услуг мобильного интернета изменяются и математические модели, описывающие подобные процессы.
В работе [25] рассматривается модель одного узла сети IAB в виде поллинговой системы [5] с двумя очередями. Заявками в данной системе являются пакеты, которые поступают от родительского узла (нисходящий канал) или пакеты поступающие от абонентских устройств (восходящий канал).
Еще одним популярным способом моделирования поведения базовой станции являются ресурсные системы массового обслуживания (РСМО) [30, 32], в которых может быть учтен радио-ресурс необходимый для отправки и передачи пакетов или обслуживания клиента сотовой связи.
В приведенных выше работах авторы рассматривают один узел сети связи, что позволяет оценить число необходимых радио-ресурсов, время задержки пакетов, распределение числа заявок пользователей в системе для одной БС. Масштабирование подобных СМО для моделирования сетей связи с учетом возможных потерь сигнала, перемещения пользователей внутри сети является трудоемкой задачей ввиду высокой детализации СМО исходя из реальных характеристик системы.
С помощью имитационного моделирования [33] возможно оценить числовые характеристики абонентской сети связи [51], которые будут получены исходя из модели распространения сигнала БС, размера и количества передаваемых пакетов, требований к задержке получения/передачи сигнала, вида трафика и прочих параметров реальной системы [35].
Аналитические методы позволяют провести наиболее полное исследование модели в сравнении с имитационным моделированием. В некоторых случаях удается применить методы оптимизации [26, 21] для оценки работы системы. Однако при переходе от реальной модели к математической возникает необходимость в упрощении реальной системы [1]. Однако, актуальность исследования математических моделей абонентских сетей с ростом технологий увеличивается.
Исходя из этого, целью данной работы является исследование математической модели абонентской сети связи в виде систем массового обслуживания. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1. Разработать математические модели абонентской сети с миграцией абонентов в виде СМО.
2. Провести исследование предложенных математических моделей.
3. Разработать программу имитационного моделирования.
4. Провести серию численных экспериментов и оценить точность полученных аппроксимаций.
В результате работы были сформулированы и исследованы две СМО для моделирования беспроводной сети связи с миграцией абонентов. Для базовой математической модели с экспоненциальным временем обслуживания было получено аналитическое выражение для двумерного распределения вероятностей числа заявок в системе в условии эквивалентности уравнений локального и глобального баланса. Для случая, когда условие эквивалентности не выполняется, был применен метод асимптотического анализа в условии растущей интенсивности входящего потока.
Была предложена модификация базовой модели, в которой время обслуживания задается произвольной функцией распределения случайной величины. Используя прием выделения первого скачка и метод динамического просеивания, была получена двумерная гауссовская аппроксимация распределения вероятностей числа заявок в системе.
Для анализа области применимости полученных аппроксимаций была разработана программа имитационного моделирования на языке программирования Python. Разработанная программа может быть масштабирована для схожих СМО и СеМО с несколькими входящими потоками или другими моделями случайных потоков событий. Проведена оценка точности имитационной модели и анализ области применимости аппроксимации. В результате проведения численных экспериментов было показано влияние параметра аппроксимации высокоинтенсивного входящего потока на точность полученного теоретического результата. Дополнительные эксперименты показали область применимости полученных теоретических результатов для различных параметров гамма-распределения времени успешного обслуживания заявок.
Для полученных теоретических результатов был реализован алгоритм численного вычисления вероятностных характеристик системы в среде Mathcad.
По результатам выпускной квалификационной работы были сделаны доклады на четырех научных конференциях:
— Системы управления, информационные технологии и математическое моделирование-2023 (СУИТИММ-2023), V Всероссийская с международным участием научно-практическая конференция студентов, аспирантов и работников образования и промышленности (25-26 апреля 2023 г., г. Омск);
— Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2023), XXII Международная конференция им. А.Ф. Терпугова (4-9 декабря 2023 г., г. Томск);
— XIV всероссийской конференции с международным участием Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем (8-9 апреля 2024 г., г. Москва).
— XI Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (24-27 мая 2024 г., г. Томск).
Результаты работы опубликованы в материалах научных конференций [31, 45].
Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору кафедры Теории Вероятностей и Математической Статистики (ТВиМС) НИ ТГУ Моисееву Александру Николаевичу за активное участие, поддержку и большое терпение в процессе подготовки и оформления выпускной квалификационной работы. Автор признателен профессору кафедры ТВиМС НИ ТГУ Назарову Анатолию Андреевичу за тесное сотрудничество во время работы над выпускной квалификационной работой.
Была предложена модификация базовой модели, в которой время обслуживания задается произвольной функцией распределения случайной величины. Используя прием выделения первого скачка и метод динамического просеивания, была получена двумерная гауссовская аппроксимация распределения вероятностей числа заявок в системе.
Для анализа области применимости полученных аппроксимаций была разработана программа имитационного моделирования на языке программирования Python. Разработанная программа может быть масштабирована для схожих СМО и СеМО с несколькими входящими потоками или другими моделями случайных потоков событий. Проведена оценка точности имитационной модели и анализ области применимости аппроксимации. В результате проведения численных экспериментов было показано влияние параметра аппроксимации высокоинтенсивного входящего потока на точность полученного теоретического результата. Дополнительные эксперименты показали область применимости полученных теоретических результатов для различных параметров гамма-распределения времени успешного обслуживания заявок.
Для полученных теоретических результатов был реализован алгоритм численного вычисления вероятностных характеристик системы в среде Mathcad.
По результатам выпускной квалификационной работы были сделаны доклады на четырех научных конференциях:
— Системы управления, информационные технологии и математическое моделирование-2023 (СУИТИММ-2023), V Всероссийская с международным участием научно-практическая конференция студентов, аспирантов и работников образования и промышленности (25-26 апреля 2023 г., г. Омск);
— Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2023), XXII Международная конференция им. А.Ф. Терпугова (4-9 декабря 2023 г., г. Томск);
— XIV всероссийской конференции с международным участием Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем (8-9 апреля 2024 г., г. Москва).
— XI Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (24-27 мая 2024 г., г. Томск).
Результаты работы опубликованы в материалах научных конференций [31, 45].
Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору кафедры Теории Вероятностей и Математической Статистики (ТВиМС) НИ ТГУ Моисееву Александру Николаевичу за активное участие, поддержку и большое терпение в процессе подготовки и оформления выпускной квалификационной работы. Автор признателен профессору кафедры ТВиМС НИ ТГУ Назарову Анатолию Андреевичу за тесное сотрудничество во время работы над выпускной квалификационной работой.
