ПРИОРИТЕТНЫЕ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ
|
Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 5
1 Исследование системы M2|M2| 1 с повторными вызовами и приоритетными заявками 8
1.1 Пример реальной системы в качестве объекта исследования 8
1.2 Математическая модель системы и постановка задачи 10
1.2.1 Математическая модель RQ-системы M2|M2|1 с приоритетными
заявками 10
1.2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.3 Итерационный (рекуррентный) алгоритм для RQ-системы M2|M2|1 13
1.4 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования системы с
повторными вызовами и приоритетными заявками M2|M2|1 15
1.4.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 15
1.4.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 18
1.4.3 Построение диффузионной аппроксимации 25
1.5 Численный анализ системы с повторными вызовами и приоритетными
заявками 27
1.5.1 Численная реализация 27
1.5.2 Область применимости асимптотических результатов 28
2 Исследование системы M2|M, GI| 1 с повторными вызовами и приоритетными заявками 32
2.1 Математическая модель системы и постановка задачи 32
2.1.1 Математическая модель RQ-системы M2|M, GI|1 с приоритетными
заявками 32
2.1.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 33
2.1.3 Метод характеристических функций 35
2.2 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования RQ-
системы M2|M, GI|1 36
2.2.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 36
2.2.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 40
2.2.3 Построение диффузионной аппроксимации 51
2.3 Численная реализация RQ-системы M2|M, GI|1 с приоритетнымизаявками 51
3 Исследование системы M2|GI2|1 с повторными вызовами и приоритетными
заявками 53
3.1 Математическая модель системы и постановка задачи 53
3.1.1 Математическая модель RQ-системы M2|GI2|1 с приоритетными
заявками 53
3.2 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования RQ-
системы M2|GI2|1 56
3.2.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 56
3.2.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 58
3.2.3 Построение диффузионной аппроксимации 61
3.3 Численная реализация RQ-системы M2|GI2|1 с приоритетными заявками 61
4 Имитационное моделирование RQ-системы с приоритетными заявками ... 63
4.1 Описание имитационной модели 63
4.2 Алгоритм моделирования 64
4.3 Результаты работы имитационной модели и их точность 66
5 Область применимости асимптотических результатов M2|M, GI|1 68
6 Область применимости асимптотических результатов M2|GI2|1 72
7 Исследование циклической системы с повторными вызовами 76
7.1 Пример реальной системы в качестве объекта исследования 76
7.2 Математическая модель системы и постановка задачи 77
7.2.1 Математическая модель циклической системы с повторными
вызовами 77
7.2.2 Метод прогулки прибора для циклической системы с повторными
вызовами 78
7.3 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования
циклической RQ-системы 81
7.3.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 81
7.3.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 84
7.3.3 Построение диффузионной аппроксимации 92
7.4 Численный анализ циклической системы с повторными вызовами 92
7.4.1 Численная реализация 92
7.4.2 Область применимости асимптотических результатов 93
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 95
ЛИТЕРАТУРА 99
ВВЕДЕНИЕ 5
1 Исследование системы M2|M2| 1 с повторными вызовами и приоритетными заявками 8
1.1 Пример реальной системы в качестве объекта исследования 8
1.2 Математическая модель системы и постановка задачи 10
1.2.1 Математическая модель RQ-системы M2|M2|1 с приоритетными
заявками 10
1.2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.3 Итерационный (рекуррентный) алгоритм для RQ-системы M2|M2|1 13
1.4 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования системы с
повторными вызовами и приоритетными заявками M2|M2|1 15
1.4.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 15
1.4.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 18
1.4.3 Построение диффузионной аппроксимации 25
1.5 Численный анализ системы с повторными вызовами и приоритетными
заявками 27
1.5.1 Численная реализация 27
1.5.2 Область применимости асимптотических результатов 28
2 Исследование системы M2|M, GI| 1 с повторными вызовами и приоритетными заявками 32
2.1 Математическая модель системы и постановка задачи 32
2.1.1 Математическая модель RQ-системы M2|M, GI|1 с приоритетными
заявками 32
2.1.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 33
2.1.3 Метод характеристических функций 35
2.2 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования RQ-
системы M2|M, GI|1 36
2.2.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 36
2.2.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 40
2.2.3 Построение диффузионной аппроксимации 51
2.3 Численная реализация RQ-системы M2|M, GI|1 с приоритетнымизаявками 51
3 Исследование системы M2|GI2|1 с повторными вызовами и приоритетными
заявками 53
3.1 Математическая модель системы и постановка задачи 53
3.1.1 Математическая модель RQ-системы M2|GI2|1 с приоритетными
заявками 53
3.2 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования RQ-
системы M2|GI2|1 56
3.2.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 56
3.2.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 58
3.2.3 Построение диффузионной аппроксимации 61
3.3 Численная реализация RQ-системы M2|GI2|1 с приоритетными заявками 61
4 Имитационное моделирование RQ-системы с приоритетными заявками ... 63
4.1 Описание имитационной модели 63
4.2 Алгоритм моделирования 64
4.3 Результаты работы имитационной модели и их точность 66
5 Область применимости асимптотических результатов M2|M, GI|1 68
6 Область применимости асимптотических результатов M2|GI2|1 72
7 Исследование циклической системы с повторными вызовами 76
7.1 Пример реальной системы в качестве объекта исследования 76
7.2 Математическая модель системы и постановка задачи 77
7.2.1 Математическая модель циклической системы с повторными
вызовами 77
7.2.2 Метод прогулки прибора для циклической системы с повторными
вызовами 78
7.3 Метод асимптотически диффузионного анализа исследования
циклической RQ-системы 81
7.3.1 Первый этап асимптотически диффузионного анализа 81
7.3.2 Второй этап асимптотически диффузионного анализа 84
7.3.3 Построение диффузионной аппроксимации 92
7.4 Численный анализ циклической системы с повторными вызовами 92
7.4.1 Численная реализация 92
7.4.2 Область применимости асимптотических результатов 93
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 95
ЛИТЕРАТУРА 99
В последнее время значительное количество научных исследований было посвящено системам массового обслуживания с повторными вызовами (Retrial Queueing System) [36-38, 40], поскольку с помощью таких RQ-систем можно моделировать многие проблемы, возникающие в компьютерных сетях, телекоммуникациях, телефонных системах и в повседневной жизни [39, 41, 55]. В RQ-системах, когда обслуживающий прибор уже занят, пришедшие заявки отправляются в зону ожидания, называемую орбитой, и после случайного времени ожидания снова пытаются занять прибор, пока они успешно не завершат обслуживание. Такое поведение позволяет не терять пришедшие заявки, что является очень важным аспектом в настоящее время.
В простых системах массового обслуживания принято считать, что все поступающие в систему запросы - однородные [19, 22, 31], то есть они обслуживаются в системе в соответствии с одним общим порядком выбора из очереди. Тем не менее, многочисленные системы реального мира содержат разнородные по своей ценности для системы запросы и, следовательно, в момент освобождения прибора такие заявки имеют разную очередность обслуживания. Описываемые модели исследуются как системы массового обслуживания с приоритетными заявками [3, 24, 45]. В таких системах существует несколько входящих потоков, которым назначается некоторый приоритет. Если в очереди находятся заявки с разными приоритетами, то первыми на обслуживание поступают заявки с более высоким приоритетом.
Существует несколько типов приоритетных заявок. В системах с относительным приоритетом [12, 27, 32] обслуживаемая заявка всегда
заканчивает обслуживание на приборе, даже если в систему поступила заявка с более высоким приоритетом. В системах с абсолютным приоритетом [26, 33, 34, 50] обслуживание заявки прерывается, если поступает заявка с более высоким приоритетом. Заявка, обслуживание которой было прервано, отправляется на орбиту и снова пытается обслужиться через случайное время.
Заявки с высоким приоритетом могут вести себя по-разному: уходить на орбиту или теряться, обслуживаться в соответствии с вытесняющей или не вытесняющей дисциплиной. В RQ-системах может использоваться термин «отказ», под этим понимается выход заявки из системы без получения обслуживания, так как прибор не смог обслужить нетерпеливую заявку при поступлении [42, 54].
Также интересны для исследования циклические системы с повторными вызовами [11, 49]. Для эффективного разделения общего ресурса связи существуют циклические протоколы, когда каждое устройство имеет одинаковый приоритет и ему выделяется один временной интервал времени, в течение которого он полностью передает данные центральному узлу. В этом случае временные окна следуют друг за другом, каждое временное окно закреплено за одним устройством, которое в течение этого времени передает собранную информацию в своем сегменте цикла центру управления.
Существуют различные методы исследования таких систем с повторными вызовами. Некоторые системы удается исследовать численным [25, 29] или матричным [23, 44] методами. Более сложные системы
исследуются аналитическими методами. В настоящее время для изучения RQ- систем наиболее известны метод асимптотического анализа [14, 17, 20] и метод асимптотически диффузионного анализа [21, 46, 51, 52] в различных предельных условиях. Также для некоторых систем с повторными вызовами возникает необходимость написания имитационных моделей для различных целей [16, 28, 47].
В данной работе были исследованы RQ-системы с абсолютным приоритетом и нетерпеливыми приоритетными заявками, а также циклические системы с повторными вызовами. Рассмотрены такие системы с различными распределениями времени обслуживания поступающих заявок. Были разработаны имитационные модели для приоритетных систем и методы асимптотически диффузионного анализа для приоритетных систем M2|M2|1, M2|M, GI|1, M2|GI2|1 и циклических систем с повторными вызовами в 6
асимптотическом условии большой задержки на орбите, также были найдены распределения вероятностей прибора и числа заявок на орбите в перечисленных системах. В этом состоит научная новизна полученных результатов данной диссертации.
Целью данной работы является построение математических моделей сети связи и нахождение распределений вероятностей состояний прибора и числа заявок на орбите в предложенных моделях.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. Построить математические модели в виде приоритетных и
циклических систем с повторными вызовами;
2. Исследовать предложенные математические модели методом
асимптотически диффузионного анализа;
3. Построить итерационный (рекуррентный) алгоритм для
приоритетной системы с повторными вызовами и экспоненциальным временем обслуживания;
4. Построить имитационную модель исследуемых приоритетных систем;
5. Оценить область применимости полученных асимптотических решений на основе результатов численных экспериментов, итерационного (рекуррентного) алгоритма и результатов имитационного моделирования.
В простых системах массового обслуживания принято считать, что все поступающие в систему запросы - однородные [19, 22, 31], то есть они обслуживаются в системе в соответствии с одним общим порядком выбора из очереди. Тем не менее, многочисленные системы реального мира содержат разнородные по своей ценности для системы запросы и, следовательно, в момент освобождения прибора такие заявки имеют разную очередность обслуживания. Описываемые модели исследуются как системы массового обслуживания с приоритетными заявками [3, 24, 45]. В таких системах существует несколько входящих потоков, которым назначается некоторый приоритет. Если в очереди находятся заявки с разными приоритетами, то первыми на обслуживание поступают заявки с более высоким приоритетом.
Существует несколько типов приоритетных заявок. В системах с относительным приоритетом [12, 27, 32] обслуживаемая заявка всегда
заканчивает обслуживание на приборе, даже если в систему поступила заявка с более высоким приоритетом. В системах с абсолютным приоритетом [26, 33, 34, 50] обслуживание заявки прерывается, если поступает заявка с более высоким приоритетом. Заявка, обслуживание которой было прервано, отправляется на орбиту и снова пытается обслужиться через случайное время.
Заявки с высоким приоритетом могут вести себя по-разному: уходить на орбиту или теряться, обслуживаться в соответствии с вытесняющей или не вытесняющей дисциплиной. В RQ-системах может использоваться термин «отказ», под этим понимается выход заявки из системы без получения обслуживания, так как прибор не смог обслужить нетерпеливую заявку при поступлении [42, 54].
Также интересны для исследования циклические системы с повторными вызовами [11, 49]. Для эффективного разделения общего ресурса связи существуют циклические протоколы, когда каждое устройство имеет одинаковый приоритет и ему выделяется один временной интервал времени, в течение которого он полностью передает данные центральному узлу. В этом случае временные окна следуют друг за другом, каждое временное окно закреплено за одним устройством, которое в течение этого времени передает собранную информацию в своем сегменте цикла центру управления.
Существуют различные методы исследования таких систем с повторными вызовами. Некоторые системы удается исследовать численным [25, 29] или матричным [23, 44] методами. Более сложные системы
исследуются аналитическими методами. В настоящее время для изучения RQ- систем наиболее известны метод асимптотического анализа [14, 17, 20] и метод асимптотически диффузионного анализа [21, 46, 51, 52] в различных предельных условиях. Также для некоторых систем с повторными вызовами возникает необходимость написания имитационных моделей для различных целей [16, 28, 47].
В данной работе были исследованы RQ-системы с абсолютным приоритетом и нетерпеливыми приоритетными заявками, а также циклические системы с повторными вызовами. Рассмотрены такие системы с различными распределениями времени обслуживания поступающих заявок. Были разработаны имитационные модели для приоритетных систем и методы асимптотически диффузионного анализа для приоритетных систем M2|M2|1, M2|M, GI|1, M2|GI2|1 и циклических систем с повторными вызовами в 6
асимптотическом условии большой задержки на орбите, также были найдены распределения вероятностей прибора и числа заявок на орбите в перечисленных системах. В этом состоит научная новизна полученных результатов данной диссертации.
Целью данной работы является построение математических моделей сети связи и нахождение распределений вероятностей состояний прибора и числа заявок на орбите в предложенных моделях.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. Построить математические модели в виде приоритетных и
циклических систем с повторными вызовами;
2. Исследовать предложенные математические модели методом
асимптотически диффузионного анализа;
3. Построить итерационный (рекуррентный) алгоритм для
приоритетной системы с повторными вызовами и экспоненциальным временем обслуживания;
4. Построить имитационную модель исследуемых приоритетных систем;
5. Оценить область применимости полученных асимптотических решений на основе результатов численных экспериментов, итерационного (рекуррентного) алгоритма и результатов имитационного моделирования.
В данной выпускной квалификационной работе магистра (магистерской диссертации) были рассмотрены системы массового обслуживания с повторными вызовами и приоритетными заявками M2|M2|1, M2|M, GI |1, M2|GI2|1 и циклические системы с повторными вызовами. Используя метод асимптотически диффузионного анализа в условии большой задержки на орбите, построили аппроксимации числа заявок на орбите в исследуемых системах.
Был реализован итерационный (рекуррентный) алгоритм для приоритетной RQ-системы с экспоненциальным временем обслуживания. Он позволил нам определить применимость асимптотически диффузионных результатов для такой системы, и сделать выводы, что аппроксимации асимптотически диффузионного анализа для систем с повторными вызовами с произвольными временами обслуживания построены верно.
Также была спроектирована и реализована имитационная модель RQ- системы с приоритетными заявками для нахождения эмпирического распределения вероятностей числа заявок на орбите на языке Python. В основу моделирования был положен дискретно-событийный подход, который позволяет значительно ускорить время сбора статистических данных, необходимых для получения искомого распределения. Стабильность результатов моделирования определена по критерию расстояния Колмогорова, которое не превышает значения 0,003, при количестве выполненных заявок равное 106.
Исследование области применимости асимптотически диффузионных результатов на основе результатов, полученных методом имитационного моделирования, показало, что точность аппроксимации растет с уменьшением интенсивности повторных вызовов.
Также была рассмотрена циклическая система с повторными вызовами. Результатом данного исследования является построение математической модели для данной системы, исследование ее методом асимптотически диффузионного анализа и определение границ применимости асимптотических результатов для такой системы.
По материалам исследований были сделаны доклады на конференциях:
1. Международная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 25-30 мая 2020 г. (Диплом I степени).
2. XIX Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ- 2020). Томск, 2-5 декабря 2020 г.
3. IX Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-28 мая 2022 г (Диплом I степени).
4. 25th International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN 2022). Москва, 26-29 сентября 2022 г.
5. XIX Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ- 2022). Карши, 25-29 октября 2022 г (Диплом I степени).
6. EAI VALUETOOLS 2022 - 15th EAI International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools. Cyberspace, November 16-18, 2022.
7. Системы управления, информационные технологии и математическое моделирование - 2023. Омск, 25-26 апреля 2023 г.
Результаты исследований были опубликованы в работах:
1. Назаров A. А. Исследование циклической системы с повторными вызовами M_2| M_2| 1 / А. А. Назаров, С. В. Пауль, К. С. Шульгина, Р. Р. Салимзянов // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2022) : материалы XXI Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 25-29 октября 2022. - С. 180 - 186.
2. Пауль С. В Исследование циклических систем с повторными вызовами в ключе построения сетей передачи данных / С. В. Пауль, К. С. Шульгина, О. Д. Лизюра, Д. В. Шашев // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети : управление, вычисление, связь (DCCN-2022). - 2022. - С. 247 - 254.
3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022683216. Программа имитационного моделирования циклической системы с повторными вызовами / Р. Р. Салимзянов, К. С. Шульгина, О. Д. Лизюра, С. В. Пауль, А. А. Назаров. Заявлено 16.10.2022; опубл. 02.12.2022.
4. Шульгина К. С. Асимптотический анализ RQ-системы с вызываемыми заявками и ненадежным прибором / К.С.Шульгина, С.В.Пауль // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем. - 2020. - С. 309- 314.
5. Шульгина К. С. Исследование неоднородной RQ-системы М1, M2|
М1, M2|1 / К. С. Шульгина, С. В. Пауль // Системы управления,
информационные технологии и математическое моделирование - 2023 (в печати).
6. Nazarov A. Asymptotic analysis of Markovian retrial queue with unreliable server and two-way communication under low rate of retrials condition / A.A. Nazarov, T. Phung-Duc, S.V. Paul, O.D. Lizyura, K.S. Shulgina // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ- 2020) : материалы XIX Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 2-5 декабря 2020 г. Томск: Изд-во НТЛ, 2021. P. 99-104.
7. Nazarov A.A. Central Limit Theorem for an M/M/1/1 Retrial Queue with Unreliable Server and Two-Way Communication / A.A. Nazarov, T. Phung- Duc, S.V. Paul, O.D. Lizyura, K.S. Shulgina // Communications in Computer and Information Science. - 2021. - P. 120- 130.
8. Nazarov A. Cyclic Retrial Queue for Building Data Transmission
Networks / A. Nazarov, T. Phung-Duc, K. Shulgina, O. Lizyura, S. Paul, D. Shashev // Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences, Social Informatics and Telecommunications Engineering, vol 482. Springer, Cham. - 2022. - P. 167 - 179.
Связь работы с крупными научными проектами. Часть результатов, изложенных в работе, получена в рамках выполнения научного проекта «Исследование и разработка математический модели сети передачи данных FANET в группе беспилотных летательных аппаратов» (руководитель - Д. В. Шашев) «Программа развития Томского государственного университета (Приоритет-2030)» (2022-2023 гг.).
Был реализован итерационный (рекуррентный) алгоритм для приоритетной RQ-системы с экспоненциальным временем обслуживания. Он позволил нам определить применимость асимптотически диффузионных результатов для такой системы, и сделать выводы, что аппроксимации асимптотически диффузионного анализа для систем с повторными вызовами с произвольными временами обслуживания построены верно.
Также была спроектирована и реализована имитационная модель RQ- системы с приоритетными заявками для нахождения эмпирического распределения вероятностей числа заявок на орбите на языке Python. В основу моделирования был положен дискретно-событийный подход, который позволяет значительно ускорить время сбора статистических данных, необходимых для получения искомого распределения. Стабильность результатов моделирования определена по критерию расстояния Колмогорова, которое не превышает значения 0,003, при количестве выполненных заявок равное 106.
Исследование области применимости асимптотически диффузионных результатов на основе результатов, полученных методом имитационного моделирования, показало, что точность аппроксимации растет с уменьшением интенсивности повторных вызовов.
Также была рассмотрена циклическая система с повторными вызовами. Результатом данного исследования является построение математической модели для данной системы, исследование ее методом асимптотически диффузионного анализа и определение границ применимости асимптотических результатов для такой системы.
По материалам исследований были сделаны доклады на конференциях:
1. Международная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 25-30 мая 2020 г. (Диплом I степени).
2. XIX Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ- 2020). Томск, 2-5 декабря 2020 г.
3. IX Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-28 мая 2022 г (Диплом I степени).
4. 25th International Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN 2022). Москва, 26-29 сентября 2022 г.
5. XIX Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ- 2022). Карши, 25-29 октября 2022 г (Диплом I степени).
6. EAI VALUETOOLS 2022 - 15th EAI International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools. Cyberspace, November 16-18, 2022.
7. Системы управления, информационные технологии и математическое моделирование - 2023. Омск, 25-26 апреля 2023 г.
Результаты исследований были опубликованы в работах:
1. Назаров A. А. Исследование циклической системы с повторными вызовами M_2| M_2| 1 / А. А. Назаров, С. В. Пауль, К. С. Шульгина, Р. Р. Салимзянов // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2022) : материалы XXI Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 25-29 октября 2022. - С. 180 - 186.
2. Пауль С. В Исследование циклических систем с повторными вызовами в ключе построения сетей передачи данных / С. В. Пауль, К. С. Шульгина, О. Д. Лизюра, Д. В. Шашев // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети : управление, вычисление, связь (DCCN-2022). - 2022. - С. 247 - 254.
3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022683216. Программа имитационного моделирования циклической системы с повторными вызовами / Р. Р. Салимзянов, К. С. Шульгина, О. Д. Лизюра, С. В. Пауль, А. А. Назаров. Заявлено 16.10.2022; опубл. 02.12.2022.
4. Шульгина К. С. Асимптотический анализ RQ-системы с вызываемыми заявками и ненадежным прибором / К.С.Шульгина, С.В.Пауль // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем. - 2020. - С. 309- 314.
5. Шульгина К. С. Исследование неоднородной RQ-системы М1, M2|
М1, M2|1 / К. С. Шульгина, С. В. Пауль // Системы управления,
информационные технологии и математическое моделирование - 2023 (в печати).
6. Nazarov A. Asymptotic analysis of Markovian retrial queue with unreliable server and two-way communication under low rate of retrials condition / A.A. Nazarov, T. Phung-Duc, S.V. Paul, O.D. Lizyura, K.S. Shulgina // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ- 2020) : материалы XIX Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 2-5 декабря 2020 г. Томск: Изд-во НТЛ, 2021. P. 99-104.
7. Nazarov A.A. Central Limit Theorem for an M/M/1/1 Retrial Queue with Unreliable Server and Two-Way Communication / A.A. Nazarov, T. Phung- Duc, S.V. Paul, O.D. Lizyura, K.S. Shulgina // Communications in Computer and Information Science. - 2021. - P. 120- 130.
8. Nazarov A. Cyclic Retrial Queue for Building Data Transmission
Networks / A. Nazarov, T. Phung-Duc, K. Shulgina, O. Lizyura, S. Paul, D. Shashev // Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences, Social Informatics and Telecommunications Engineering, vol 482. Springer, Cham. - 2022. - P. 167 - 179.
Связь работы с крупными научными проектами. Часть результатов, изложенных в работе, получена в рамках выполнения научного проекта «Исследование и разработка математический модели сети передачи данных FANET в группе беспилотных летательных аппаратов» (руководитель - Д. В. Шашев) «Программа развития Томского государственного университета (Приоритет-2030)» (2022-2023 гг.).
