Введение 2
§1. Метрика Хаусдорфа 3
§2. Системы итерируемых функций 7
§3. Самоподобные фрактальные множества 10
§4. Примеры 13
§5. Симметрия самоподобных фракталов 15
§6. Группы симметрий на плоскости 16
§7. Самоподобные множества на плоскости и их покрытия 20
§8. Поднятие самоподобных множеств в Группу Гейзенберга Н3 и построение оболочки 28
Заключение 34
Список литературы 35
Поднятие фракталов с плоскости в 3-мерную группу Гейзенберга Н3 было начато в работах Михаила Громова. Им же были поставлены задачи об оценке размерности Хаусдорфа фрактала, поднятого в Н3. Для грубой оценки фракталов как на плоскости и в 3-мерной группе Гейзенберга удобно использовать покрытия фрактала одинаковыми шарами достаточно малого радиуса. Была поставлена задача, используя taxicab-подобные метрики и ограничившись симметричными фракталами построить покрытия, состоящие из возможно меньшего числа шаров. Мы рассматриваем фракталы, являющиеся самоподобными множествами относительно конечной системы сжимающих отображений на плоскости. Сжимающие отображения будут иметь специальный вид: каждое отображение является композицией параллельного переноса, поворота (в евклидовом случае) и гомотетии с коэффициентом сжатия по модулю меньшим единицы. Напомним, что множество К называется самоподобным по отношению к системе сжимающих отображений {f1, ...,fn}, если К=и<Л(Ю
Таким образом, исследовано построение покрытий симметричных фрактальных множеств на плоскости в случае евклидовой метрики и taxicab- подобных метрик. Рассмотрены поднятия этих плоских самоподобных множеств в группу Гейзенберга следуя схеме Барнсли. Составлена программа в Maple иллюстрирующая покрытия и их поднятия.
