АННОТАЦИЯ 2
ОГЛАВЛЕНИЕ 3
СТАНДАРТНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 4
ВВЕДЕНИЕ 5
1. Основные понятия 6
2. Канторово множество 7
2.1. Однородность и счетно плотная однородность канторова множества 7
2.2. Канторово множество как пространство двузначных функций 9
3. Пространства d0 и d 11
3.1. Подпространства в произведении вещественных прямых 11
3.2. Подпространства пространства Ср (N, D) 11
3.3. Исследование подпространства d0 14
4. Пространства двузначных функций на счетных метрических компактах 18
5. Пространства двузначных функций на локально компактных пространствах 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26
ЛИТЕРАТУРА 27
Актуальность темы исследования обусловлена важностью изучения топологических свойств функциональных пространств, в частности, пространства двузначных непрерывных функций Cp(N,D), где D = {0,1}.
Современное состояние проблемы характеризуется интересом к исследованию функциональных пространств. В работе Dobrowolski и Marciszewski [1] рассматривается гомеоморфная классификация функциональных подпространств в КС° в топологии поточечной сходимости, в частности, было доказано, что с и с0 не являются линейно гомеоморфными. В монографии Jan van Mill [2] отдельная глава отведена исследованию функциональных пространств. Также рассматриваются свойства однородности и счётно плотной однородности топологических пространств. Рассматривались вопросы о линейной гомеоморфности пространств Cp(X) и Cp(Y). В 2011-2015 годах под авторством Владимира Ткачука выходит книга “A Cp-Theory Problem Book” [3], где наиболее полно отражено современное состояние задач Ср -теории.
Целью работы является исследование подгрупп топологической группы Cp(N, D), изучение их топологических свойств, доказательство ключевых результатов, связанных с линейным гомеоморфизмом подпространств Cp(N, D). В задачи исследования входит:
1. Анализ свойств однородности и счётно плотной однородности канторова множества Cp(KD).
2. Изучение линейных подпространств d0 (последовательностей, сходящихся к нулю) и d (сходящихся последовательностей) и доказательство их линейного гомеоморфизма.
3. Изучение линейной гомеоморфности пространств двузначных функций на счётных метризуемых компактах.
4. Исследование свойства локальной компактности и её влияние на структуру функциональных пространств.
Результаты исследования расширяют понимание структуры пространств двузначных функций и могут быть применены в дальнейших исследованиях топологических свойств функциональных пространств.
Разобрано и приведено доказательство того, что канторово множество С является однородным и счётно плотно однородным.
Канторово множество рассмотрено как линейное пространство над полем D. В нём рассмотрены подпространства d и d0.
Доказано, что d линейно гомеоморфно. пространству Ср ([1, w], D).
Доказано, что для любого ординала а пространства Ср([1, a], D) и d0 линейно гомеоморфны.
Доказано, что если X - локально компактное, а Y - не локально компактное, то пространства Cp(X,D) и Cp(Y,D) не являются линейно гомеоморфными.
