ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТОКОВ В СМО С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ И НЕОРДИНАРНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ
|
ВВЕДЕНИЕ 7
1 СМО M / M / да с обратной связью и групповым входящим потоком 10
1.1 Математическая модель пуассоновского неординарного потока 10
1.2 Исследования числа заявок в СМО с обратной связью и
пуассоновским неординарным потоком 14
1.2.1 Постановка задачи 14
1.2.2 Математическая модель 15
1.2.3 Система уравнений Колмогорова 15
1.2.4 Метод производящих функций 16
1.3 Вероятностные характеристики числа занятых приборов 20
1.4 Численный анализ для частных случаев распределения вероятностей
числа заявок в пачке 22
1.4.1 Размер пачки всегда равен единице 22
1.4.2 Все пачки одного размера 23
1.4.3 Равномерное дискретное распределение 24
1.4.4 Закон Пуассона 25
Выводы по параграфу 1 27
2 Исследование потоков повторных обращений в СМО M/ M/ да с
повторным обслуживанием и групповым входящим потоком 28
2.1 Постановка задачи 28
2.2 Математическая модель 28
2.3 Система уравнений Колмогорова 29
2.4 Метод производящих функций 30
2.5 Численный анализ для частных случаев распределения вероятностей
числа заявок в пачке 35
2.5.1 Размер пачки всегда равен единице 35
2.5.2 Равномерное дискретное распределение 36
2.5.3 Размер пачки распределен по закону Пуассона 37
3 Численный анализ СМО с обратной связью и пуассоновским неординарным потоком 38
3.1 Алгоритмы численных расчетов вероятностных характеристик числа заявок в СМО с обратной связью и пуассоновским неординарным потоком 38
3.1.1 Построение распределений вероятностей числа заявок в СМО с
обратной связью и пуассоновским неординарным потоком 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 43
1 СМО M / M / да с обратной связью и групповым входящим потоком 10
1.1 Математическая модель пуассоновского неординарного потока 10
1.2 Исследования числа заявок в СМО с обратной связью и
пуассоновским неординарным потоком 14
1.2.1 Постановка задачи 14
1.2.2 Математическая модель 15
1.2.3 Система уравнений Колмогорова 15
1.2.4 Метод производящих функций 16
1.3 Вероятностные характеристики числа занятых приборов 20
1.4 Численный анализ для частных случаев распределения вероятностей
числа заявок в пачке 22
1.4.1 Размер пачки всегда равен единице 22
1.4.2 Все пачки одного размера 23
1.4.3 Равномерное дискретное распределение 24
1.4.4 Закон Пуассона 25
Выводы по параграфу 1 27
2 Исследование потоков повторных обращений в СМО M/ M/ да с
повторным обслуживанием и групповым входящим потоком 28
2.1 Постановка задачи 28
2.2 Математическая модель 28
2.3 Система уравнений Колмогорова 29
2.4 Метод производящих функций 30
2.5 Численный анализ для частных случаев распределения вероятностей
числа заявок в пачке 35
2.5.1 Размер пачки всегда равен единице 35
2.5.2 Равномерное дискретное распределение 36
2.5.3 Размер пачки распределен по закону Пуассона 37
3 Численный анализ СМО с обратной связью и пуассоновским неординарным потоком 38
3.1 Алгоритмы численных расчетов вероятностных характеристик числа заявок в СМО с обратной связью и пуассоновским неординарным потоком 38
3.1.1 Построение распределений вероятностей числа заявок в СМО с
обратной связью и пуассоновским неординарным потоком 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 43
Модификации СМО с неограниченным числом приборов являются системы массового обслуживания с повторными обращениями заявок, которые применяются для описания процессов сложных технических системах.
Примерами современных приложений ТМО являются исследования математических моделей информационно-коммуникационных систем (ИКС), распределенных вычислительных систем (РВС) и компьютерных сетей, а именно разработка методов их исследования для решения проблемы анализа и синтеза с целью повышения эффективности их функционирования. При оценке параметров функционирования информационно-коммуникационных и вычислительных систем используется аппарат теории массового обслуживания, а в качестве математических моделей используют RQ-системы, многолинейные СМО [42, 27, 28], в том числе с неограниченным числом приборов [1, 37, 41]. Как правило, математические модели реальных систем должны учитывать ее особенности, такие как распараллеливание процессов [40, 44, 32], пакетный трафик, необходимость в повторном обслуживании, несколько этапов обработки [36, 38, 39, 44, 27] и т.д. Все это приводит к модификациям классических моделей ТМО, и, как следствие, к необходимости почти для каждой СМО разрабатывать оригинальные методы исследования [2].
СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов являются математическими моделями сложных технических систем, таких как распределенные вычислительные и информационные системы, а также различных социально-экономических систем, в том числе демографических, торговых и страховых компаний [3, 4], пенсионных фондов [4]. Известно также достаточно большое количество работ по моделированию работы центра обработки вызовов (call-center) - это услуга сети, в которой агенты предоставляют телефонные услуги. Как правило, число операторов, работающих в таких компаниях, может быть достаточно велико. Обслуживание каждого клиента начинается незамедлительно (то есть системы без отказов).
Рассмотрим некоторый вычислительный комплекс (облачные вычисления) для решения сложных вычислительных задач, считать, что исходные задачи поступают независимо друг от друга. Будем считать, что исходные задачи, разбиваются на подзадачи (распараллеливаются). В итоге одного выполнения итерационного алгоритма решение может быть не найдено, в таком случае алгоритм запускается заново, и эта процедура выполняется, пока подзадача не будет решена.
Ставится задача исследования вероятностных характеристик потоков обращений в такую систему, а также объем занимаемых ресурсов (количество занятых приборов).
Изучению и анализу таких моделей с групповым входящим потоком посвящена данная работа.
Целью работы является построение и анализ вероятностных характеристик процессов в системе массового обслуживания с обратной связью и групповым входящим потоком.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
1) Построить математическую модель СМО с обратной связью и групповым входящим потоком.
2) Провести исследование числа занятых приборов в указанной системе для различных законов распределения вероятностей групп заявок.
3) Провести исследование числа повторных обращений в систему.
4) Найти числовые вероятностные характеристики числа занятых приборов (математическое ожидание и дисперсия).
5) Провести численный анализ для различных распределений групп.
Для исследования рассмотренных моделей используется аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений. Для процессов, характеризующих состояния исследуемых процессов использовались метод цепей Маркова и метод производящих функций. Численный анализ проводился с помощью Mathcad.
Работа состоит из введения, 3 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 48 страниц. Список литературы включает в себя 44 наименований.
Во введение отражена актуальность работы и поставлена проблема исследования потоков в СМО с обратной связью и неординарным входящим потоком. В первом параграфе рассматривается СМО M / M / да с обратной связью и групповым входящим потоком. Второй параграф содержит исследование потоков повторных обращений в СМО M / M / да с повторным обслуживанием и групповым входящим потоком. В третьем параграфе приведен комплекс программ для численного анализа. Заключение включает в себя основные выводы по данной работе.
Предложенные в работе модели обобщают исследования моделей массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов и повторных обращений [24, 2] на случай неординарного входящего потока и могут применяться для анализа характеристик реальных объектов в различных предметных областях. Полученные результаты могут быть использованы для расчета операционных и вероятностных характеристик моделей существующих информационно-телекоммуникационных систем, подсистем глобальных и компьютерных сетей с целью повышения эффективности их функционирования и выработки рекомендаций при проектировании новых систем.
Примерами современных приложений ТМО являются исследования математических моделей информационно-коммуникационных систем (ИКС), распределенных вычислительных систем (РВС) и компьютерных сетей, а именно разработка методов их исследования для решения проблемы анализа и синтеза с целью повышения эффективности их функционирования. При оценке параметров функционирования информационно-коммуникационных и вычислительных систем используется аппарат теории массового обслуживания, а в качестве математических моделей используют RQ-системы, многолинейные СМО [42, 27, 28], в том числе с неограниченным числом приборов [1, 37, 41]. Как правило, математические модели реальных систем должны учитывать ее особенности, такие как распараллеливание процессов [40, 44, 32], пакетный трафик, необходимость в повторном обслуживании, несколько этапов обработки [36, 38, 39, 44, 27] и т.д. Все это приводит к модификациям классических моделей ТМО, и, как следствие, к необходимости почти для каждой СМО разрабатывать оригинальные методы исследования [2].
СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов являются математическими моделями сложных технических систем, таких как распределенные вычислительные и информационные системы, а также различных социально-экономических систем, в том числе демографических, торговых и страховых компаний [3, 4], пенсионных фондов [4]. Известно также достаточно большое количество работ по моделированию работы центра обработки вызовов (call-center) - это услуга сети, в которой агенты предоставляют телефонные услуги. Как правило, число операторов, работающих в таких компаниях, может быть достаточно велико. Обслуживание каждого клиента начинается незамедлительно (то есть системы без отказов).
Рассмотрим некоторый вычислительный комплекс (облачные вычисления) для решения сложных вычислительных задач, считать, что исходные задачи поступают независимо друг от друга. Будем считать, что исходные задачи, разбиваются на подзадачи (распараллеливаются). В итоге одного выполнения итерационного алгоритма решение может быть не найдено, в таком случае алгоритм запускается заново, и эта процедура выполняется, пока подзадача не будет решена.
Ставится задача исследования вероятностных характеристик потоков обращений в такую систему, а также объем занимаемых ресурсов (количество занятых приборов).
Изучению и анализу таких моделей с групповым входящим потоком посвящена данная работа.
Целью работы является построение и анализ вероятностных характеристик процессов в системе массового обслуживания с обратной связью и групповым входящим потоком.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
1) Построить математическую модель СМО с обратной связью и групповым входящим потоком.
2) Провести исследование числа занятых приборов в указанной системе для различных законов распределения вероятностей групп заявок.
3) Провести исследование числа повторных обращений в систему.
4) Найти числовые вероятностные характеристики числа занятых приборов (математическое ожидание и дисперсия).
5) Провести численный анализ для различных распределений групп.
Для исследования рассмотренных моделей используется аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений. Для процессов, характеризующих состояния исследуемых процессов использовались метод цепей Маркова и метод производящих функций. Численный анализ проводился с помощью Mathcad.
Работа состоит из введения, 3 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 48 страниц. Список литературы включает в себя 44 наименований.
Во введение отражена актуальность работы и поставлена проблема исследования потоков в СМО с обратной связью и неординарным входящим потоком. В первом параграфе рассматривается СМО M / M / да с обратной связью и групповым входящим потоком. Второй параграф содержит исследование потоков повторных обращений в СМО M / M / да с повторным обслуживанием и групповым входящим потоком. В третьем параграфе приведен комплекс программ для численного анализа. Заключение включает в себя основные выводы по данной работе.
Предложенные в работе модели обобщают исследования моделей массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов и повторных обращений [24, 2] на случай неординарного входящего потока и могут применяться для анализа характеристик реальных объектов в различных предметных областях. Полученные результаты могут быть использованы для расчета операционных и вероятностных характеристик моделей существующих информационно-телекоммуникационных систем, подсистем глобальных и компьютерных сетей с целью повышения эффективности их функционирования и выработки рекомендаций при проектировании новых систем.
В данной работе была построена математическая модель СМО с обратной связью и групповым сходящим потоком. Проведено исследование числа занятых приборов в указанной системе для различных законов распределения вероятностей групп заявок. Проведено исследование числа повторных обращений в систему. Найдены числовые вероятностные характеристики числа занятых приборов (математическое ожидание и дисперсия). Проведен численный анализ для различных распределений групп. В том числе были рассмотрены численные примеры для различных распределений групп.
По материалам исследования был сделаны доклады на конференции:
VIII Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-30 мая 2021 г.
IX Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-28 мая 2022 г.
III Всероссийской с международным участием научно-практической конференции студентов, аспирантов, работников образования и промышленности «СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ» (СУИТиММ- 2021). Омск, 19-20 мая 2022 г.
По материалам исследования был сделаны доклады на конференции:
VIII Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-30 мая 2021 г.
IX Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-28 мая 2022 г.
III Всероссийской с международным участием научно-практической конференции студентов, аспирантов, работников образования и промышленности «СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ» (СУИТиММ- 2021). Омск, 19-20 мая 2022 г.