Оценивание параметров простейшего потока событий при наличии мертвого времени, имеющего распределение Рэлея
|
Реферат
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Постановка задачи 11
2 Оценивание параметров простейшего потока событий при
непродлевающемся мертвом времени, имеющим распределение Рэлея 12
2.1 Плотность распределения вероятностей интервала времени между
соседними событиями наблюдаемого потока 12
2.2 Оценивание одного из параметров простейшего потока событий в
условиях мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 13
2.3 Оценивание параметров простейшего потока событий и мертвого
времени, имеющего распределение Рэлея 15
3 Имитационное моделирование простейшего потока событий в условиях
мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 17
3.1 Моделирование непрерывных случайных величин методом обратных
функций 19
3.1.1 Экспоненциальное распределение 20
3.1.2 Распределение Рэлея 20
3.2 Имитационное моделирование простейшего потока событий при
наличии мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 20
3.3 Алгоритм оценивания одного из параметров простейшего потока
событий и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 34
3.4 Алгоритм оценивания параметров простейшего потока событий и
мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
ЛИТЕРАТУРА 50
ПРИЛОЖЕНИЕ А Программная реализация имитационного моделирования простейшего потока событий при наличии мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 53
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Постановка задачи 11
2 Оценивание параметров простейшего потока событий при
непродлевающемся мертвом времени, имеющим распределение Рэлея 12
2.1 Плотность распределения вероятностей интервала времени между
соседними событиями наблюдаемого потока 12
2.2 Оценивание одного из параметров простейшего потока событий в
условиях мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 13
2.3 Оценивание параметров простейшего потока событий и мертвого
времени, имеющего распределение Рэлея 15
3 Имитационное моделирование простейшего потока событий в условиях
мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 17
3.1 Моделирование непрерывных случайных величин методом обратных
функций 19
3.1.1 Экспоненциальное распределение 20
3.1.2 Распределение Рэлея 20
3.2 Имитационное моделирование простейшего потока событий при
наличии мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 20
3.3 Алгоритм оценивания одного из параметров простейшего потока
событий и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 34
3.4 Алгоритм оценивания параметров простейшего потока событий и
мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
ЛИТЕРАТУРА 50
ПРИЛОЖЕНИЕ А Программная реализация имитационного моделирования простейшего потока событий при наличии мертвого времени, имеющего распределение Рэлея 53
Актуальность работы.
Теория массового обслуживания является одной из важнейшей области математики, которая представляет собой теоретические основы комплекса вопросов эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Методы и идеи теории массового обслуживания широко распространены, а круг практических задач, решаемых методами этой теории, непрерывно расширяется. Активное развитие в последнее время получила еще одна важная область приложений теории массового обслуживания - конструирование и разработка информационно - вычислительных систем, которые объединяют в себе огромное количество, спутниковых систем связи, компьютерных сетей и т.д.
Основателем теории массового обслуживания является датский математик, инженер и статистик А. К. Эрланг. Большой вклад в разработку общей теории массового обслуживания был внесен А.Я. Хинчиным выдающимся советским математиком и ученым. Им же было предложено понятие теории массового обслуживания. Основы математической теории массового обслуживания заложены в трудах А.Я. Хинчина [10], Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко [13]. Чаще всего в зарубежных изданиях встречается понятие «теория очередей».
Развитие приложений, несомненно, привело к росту числа
исследователей, а в следствие, к расширению того круга изданий и литературы, в которых появляются работы по теории массового
обслуживания. Несмотря на большое количество исследований, остается большое количество проблем, требующих дополнительного анализа и исследования. Так, например, в литературе по теории массового обслуживания и ее приложениям незначительное количество работ посвящяется адаптивным системам, т.е. системам, функционирующим в условиях полной или частичной неопределенности. Чаще всего, авторы рассматривают ситуации, когда все параметры, характеризующие систему массового обслуживания, точно 6
известны, в реальности так происходит не всегда. В отношении параметров, которые характеризуют обслуживающие устройства, можно сказать, что они известны и не меняются с течением времени, однако, об интенсивностях входящих потоков или других их параметров такого чаще всего сказать нельзя. Частота входящих потоков обычно меняется со временем, такие изменения носят чаще всего случайный характер. Все же, очевидно, что работа системы массового обслуживания непосредственно связана с интенсивностями входящих потоков заявок: чем выше интенсивность входящих потоков, тем напряженнее режим обслуживания, который требует подключения дополнительных обслуживающих приборов. Таким образом, задача оценки параметров потока событий по наблюдениям за этим потоком в случайный (произвольный) момент времени является очень важной.
В технической и научной литературе в настоящее время многие классы потоков событий изучены довольно хорошо. В качестве объекта исследований в большинстве работ по исследованию СМО рассматривается простейший стационарный (пуассоновский) поток и его модификации.
В настоящей работе исследуется задача оценивания параметров простейшего потока событий с параметром 2 и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея, с параметром а. Частичная ненаблюдаемость связана с возникновением схемы мертвого времени, когда после наступления события в исходном потоке наступает период времени случайной длительности или период мертвого времени, в течение которого остальные события недоступны наблюдению. Одним из искажающих факторов при определении характеристик случайных потоков выступает мертвое время устройств регистрации. В течение мертвого времени, если зарегистрированное событие обрабатывается, то любое другое событие, которое поступает на вход системы в этот период, теряется. Можно разделить устройства регистрации на две группы. К первой относятся устройства с непродлевающемся мертвым временем, не зависящим от поступления других событий. Ко второй группе относятся устройства с продлевающемся мертвым временем. В таком случае мертвое время возникает после любого события, поступившего на вход системы и не зависит от факта его регистрации. В данной работе решается задача оценивания параметров простейшего потока событий в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени, имеющего распределение Рэлея, методом моментов.
Метод моментов, введенный К. Пирсоном ([11, 12]) в 1894 году, с помощью которого были найдены оценки параметров в данной работе, считается самым первым общим методом оценивания неизвестных параметров по выборочным значениям. Суть метода состоит в том, чтобы приравнять определенное количество теоретических выборочных моментов к соответствующим эмпирическим, которые были найдены по выборке. Искомые оценки будут получены, если количество моментов будет равно числу параметров, подлежащих оценке. Решив соответствующие уравнения относительно этих параметров, будут получены искомые оценки. Стоит отметить, что оценки, получаемые методом моментов, не являются «наилучшими» из возможных, т.е. имеют не наименьшую возможную дисперсию. Однако, данный метод очень удобно использовать на практике.
Цель работы.
Необходимо в момент окончания наблюдений на основании выборки моментов наступления событий в наблюдаемом потоке осуществить методом моментов построение оценок простейшего потока событий и мертвого времени, распределенного по закону Рэлея.
Методы исследования.
При выполнении диссертационной работы использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, численные методы, а также методы имитационного моделирования.
Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту.
Научная новизна работы состоит в рассмотрении и решении задачи оценивания параметров простейшего потока событий и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея.
Теоретическая ценность:
- получен вид плотности вероятности интервала времени между соседними событиями в наблюдаемом потоке;
- построены оценки параметров простейшего потока событий и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея;
- разработан и реализован алгоритм оценивания параметров рассматриваемого потока и мертвого времени, по методу моментов.
Практическая ценность.
Результаты, полученные в работе, можно использовать для обработки данных в различных физических экспериментах, в задачах разработки и исследования систем массового обслуживания (информационно¬вычислительные сети, торговые сети, сети связи), функционирование которых зависит от параметров входящих потоков событий.
Публикации.
По материалам данных исследований опубликована 1 работа:
1. Завгородняя М.Е., Табольжина Ю.Е. Оценивание параметров простейшего потока событий и мертвого времени, распределенного по закону Рэлея // Материалы VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24 - 26 мая, 2018 г., Томск, С. 129 - 133.
Внедрение результатов работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- на VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24-26 мая, 2018 г., Томск;
- VII Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 23-25 мая, 2019 г., Томск.
Теория массового обслуживания является одной из важнейшей области математики, которая представляет собой теоретические основы комплекса вопросов эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Методы и идеи теории массового обслуживания широко распространены, а круг практических задач, решаемых методами этой теории, непрерывно расширяется. Активное развитие в последнее время получила еще одна важная область приложений теории массового обслуживания - конструирование и разработка информационно - вычислительных систем, которые объединяют в себе огромное количество, спутниковых систем связи, компьютерных сетей и т.д.
Основателем теории массового обслуживания является датский математик, инженер и статистик А. К. Эрланг. Большой вклад в разработку общей теории массового обслуживания был внесен А.Я. Хинчиным выдающимся советским математиком и ученым. Им же было предложено понятие теории массового обслуживания. Основы математической теории массового обслуживания заложены в трудах А.Я. Хинчина [10], Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко [13]. Чаще всего в зарубежных изданиях встречается понятие «теория очередей».
Развитие приложений, несомненно, привело к росту числа
исследователей, а в следствие, к расширению того круга изданий и литературы, в которых появляются работы по теории массового
обслуживания. Несмотря на большое количество исследований, остается большое количество проблем, требующих дополнительного анализа и исследования. Так, например, в литературе по теории массового обслуживания и ее приложениям незначительное количество работ посвящяется адаптивным системам, т.е. системам, функционирующим в условиях полной или частичной неопределенности. Чаще всего, авторы рассматривают ситуации, когда все параметры, характеризующие систему массового обслуживания, точно 6
известны, в реальности так происходит не всегда. В отношении параметров, которые характеризуют обслуживающие устройства, можно сказать, что они известны и не меняются с течением времени, однако, об интенсивностях входящих потоков или других их параметров такого чаще всего сказать нельзя. Частота входящих потоков обычно меняется со временем, такие изменения носят чаще всего случайный характер. Все же, очевидно, что работа системы массового обслуживания непосредственно связана с интенсивностями входящих потоков заявок: чем выше интенсивность входящих потоков, тем напряженнее режим обслуживания, который требует подключения дополнительных обслуживающих приборов. Таким образом, задача оценки параметров потока событий по наблюдениям за этим потоком в случайный (произвольный) момент времени является очень важной.
В технической и научной литературе в настоящее время многие классы потоков событий изучены довольно хорошо. В качестве объекта исследований в большинстве работ по исследованию СМО рассматривается простейший стационарный (пуассоновский) поток и его модификации.
В настоящей работе исследуется задача оценивания параметров простейшего потока событий с параметром 2 и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея, с параметром а. Частичная ненаблюдаемость связана с возникновением схемы мертвого времени, когда после наступления события в исходном потоке наступает период времени случайной длительности или период мертвого времени, в течение которого остальные события недоступны наблюдению. Одним из искажающих факторов при определении характеристик случайных потоков выступает мертвое время устройств регистрации. В течение мертвого времени, если зарегистрированное событие обрабатывается, то любое другое событие, которое поступает на вход системы в этот период, теряется. Можно разделить устройства регистрации на две группы. К первой относятся устройства с непродлевающемся мертвым временем, не зависящим от поступления других событий. Ко второй группе относятся устройства с продлевающемся мертвым временем. В таком случае мертвое время возникает после любого события, поступившего на вход системы и не зависит от факта его регистрации. В данной работе решается задача оценивания параметров простейшего потока событий в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени, имеющего распределение Рэлея, методом моментов.
Метод моментов, введенный К. Пирсоном ([11, 12]) в 1894 году, с помощью которого были найдены оценки параметров в данной работе, считается самым первым общим методом оценивания неизвестных параметров по выборочным значениям. Суть метода состоит в том, чтобы приравнять определенное количество теоретических выборочных моментов к соответствующим эмпирическим, которые были найдены по выборке. Искомые оценки будут получены, если количество моментов будет равно числу параметров, подлежащих оценке. Решив соответствующие уравнения относительно этих параметров, будут получены искомые оценки. Стоит отметить, что оценки, получаемые методом моментов, не являются «наилучшими» из возможных, т.е. имеют не наименьшую возможную дисперсию. Однако, данный метод очень удобно использовать на практике.
Цель работы.
Необходимо в момент окончания наблюдений на основании выборки моментов наступления событий в наблюдаемом потоке осуществить методом моментов построение оценок простейшего потока событий и мертвого времени, распределенного по закону Рэлея.
Методы исследования.
При выполнении диссертационной работы использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, численные методы, а также методы имитационного моделирования.
Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту.
Научная новизна работы состоит в рассмотрении и решении задачи оценивания параметров простейшего потока событий и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея.
Теоретическая ценность:
- получен вид плотности вероятности интервала времени между соседними событиями в наблюдаемом потоке;
- построены оценки параметров простейшего потока событий и мертвого времени, имеющего распределение Рэлея;
- разработан и реализован алгоритм оценивания параметров рассматриваемого потока и мертвого времени, по методу моментов.
Практическая ценность.
Результаты, полученные в работе, можно использовать для обработки данных в различных физических экспериментах, в задачах разработки и исследования систем массового обслуживания (информационно¬вычислительные сети, торговые сети, сети связи), функционирование которых зависит от параметров входящих потоков событий.
Публикации.
По материалам данных исследований опубликована 1 работа:
1. Завгородняя М.Е., Табольжина Ю.Е. Оценивание параметров простейшего потока событий и мертвого времени, распределенного по закону Рэлея // Материалы VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24 - 26 мая, 2018 г., Томск, С. 129 - 133.
Внедрение результатов работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- на VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24-26 мая, 2018 г., Томск;
- VII Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 23-25 мая, 2019 г., Томск.
В настоящей работе были рассмотрены вопросы, связанные с оценкой параметров простейшего потока событий при наличии случайного мертвого времени, распределенного по закону Рэлея.
Теоретические и практические результаты в совокупности позволяют сделать вывод о новом решении задачи оценивания параметров простейшего потока событий при наличии случайного мертвого времени, распределенного по закону Рэлея. Появляется возможность использования полученных результатов при обработке данных в разнообразных физических экспериментах, в задачах разработки и исследования информационно¬вычислительных сетей, торговых сетей, сетей связи и др. систем массового обслуживания, функционирование которых зависит от параметров входящих потоков событий.
Основные научные и практические результаты состоят в следующем:
- получен вид плотности вероятности интервала времени между соседними событиями в наблюдаемом потоке;
- получены оценки параметров простейшего потока событий при наличии мертвого времени, распределенного по закону Рэлея;
- разработан и реализован алгоритм оценивания по методу моментов параметров рассматриваемого потока и мертвого времени;
- проведены статистические эксперименты, показывающие, что имитационная модель адекватно реагирует на изменения параметров и при увеличении времени моделирования оценки улучшаются, становясь все ближе к истинным значениям.
По материалам данных исследований опубликована 1 работа:
1 Завгородняя М.Е., Табольжина Ю.Е. Оценивание параметров
простейшего потока событий и мертвого времени, распределенного по закону Рэлея // Материалы VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24-26 мая, 2018 г., Томск, С. 129-133.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- на VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24-26 мая, 2018 г., Томск;
- на VII Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 23-25 мая, 2019 г., Томск.
Теоретические и практические результаты в совокупности позволяют сделать вывод о новом решении задачи оценивания параметров простейшего потока событий при наличии случайного мертвого времени, распределенного по закону Рэлея. Появляется возможность использования полученных результатов при обработке данных в разнообразных физических экспериментах, в задачах разработки и исследования информационно¬вычислительных сетей, торговых сетей, сетей связи и др. систем массового обслуживания, функционирование которых зависит от параметров входящих потоков событий.
Основные научные и практические результаты состоят в следующем:
- получен вид плотности вероятности интервала времени между соседними событиями в наблюдаемом потоке;
- получены оценки параметров простейшего потока событий при наличии мертвого времени, распределенного по закону Рэлея;
- разработан и реализован алгоритм оценивания по методу моментов параметров рассматриваемого потока и мертвого времени;
- проведены статистические эксперименты, показывающие, что имитационная модель адекватно реагирует на изменения параметров и при увеличении времени моделирования оценки улучшаются, становясь все ближе к истинным значениям.
По материалам данных исследований опубликована 1 работа:
1 Завгородняя М.Е., Табольжина Ю.Е. Оценивание параметров
простейшего потока событий и мертвого времени, распределенного по закону Рэлея // Материалы VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24-26 мая, 2018 г., Томск, С. 129-133.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- на VI Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 24-26 мая, 2018 г., Томск;
- на VII Международной молодежной научной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем", 23-25 мая, 2019 г., Томск.