Моделирование работы вычислительного узла в виде СМО с деградацией скорости обслуживания
|
Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Обзор литературы и математическая модель вычислительного узла в виде СМО 6
2 Имитационная модель СМО с деградацией скорости обслуживания 9
3 Исследование числа занятых приборов 28
3.1 Аналитическое исследование для экспоненциального распределения объема
запросов 29
3.2 Численные эксперименты 30
4 Исследование времени обслуживания поступающих запросов 35
5 Исследование выходящего потока 39
5.1 Асимптотический анализ выходящего потока системы 39
5.2 Пуассоновское свойство выходящего потока 45
5.3 Численные эксперименты 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 56
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Обзор литературы и математическая модель вычислительного узла в виде СМО 6
2 Имитационная модель СМО с деградацией скорости обслуживания 9
3 Исследование числа занятых приборов 28
3.1 Аналитическое исследование для экспоненциального распределения объема
запросов 29
3.2 Численные эксперименты 30
4 Исследование времени обслуживания поступающих запросов 35
5 Исследование выходящего потока 39
5.1 Асимптотический анализ выходящего потока системы 39
5.2 Пуассоновское свойство выходящего потока 45
5.3 Численные эксперименты 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 56
Теория массового обслуживания занимает особое место в современной прикладной математике, выступая связующим звеном между теорией вероятностей и практическими задачами анализа производительности сложных систем. Теория массового обслуживания изучает поведение стохастических процессов, возникающих в системах, в которых ограниченные или неограниченные ресурсы обслуживают поступающие запросы. Основной целью является формальное количественное описание характеристик, таких как средняя длина очереди, вероятность отказа, загрузка обслуживающих устройств и среднее время ожидания.
Исторически теория массового обслуживания возникла в ответ на практическую необходимость повысить эффективность телекоммуникационных систем, и её основы были заложены в начале XX века А. К. Эрлангом [1] при анализе телефонных линий. Однако с течением времени её применение значительно расширилось: от моделирования логистических цепочек и систем здравоохранения до управления информационными потоками в высокопроизводительных вычислительных инфраструктурах. Сегодняшние вычислительные системы, такие как облачные сервисы, дата-центры, киберфизические системы и IoT-архитектуры, характеризуются высокой степенью параллелизма и переменной нагрузкой, что требует всё более точных и адаптивных моделей обслуживания.
Особый интерес вызывает анализ систем с бесконечным числом обслуживающих устройств, в которых отсутствует явное накопление очередей, а каждое новое требование обрабатывается немедленно, при этом скорость обслуживания может изменяться в зависимости от внешних и внутренних факторов. В частности, модель MМ: |от (индекс i означает наличие зависимости интенсивности обслуживания заявок от числа занятых приборов), в которой скорость обслуживания является функцией от состояния системы, позволяет учесть эффект деградации ресурсов, связанный с износом оборудования, перегрузками или адаптивным управлением мощностями. Примером может служить ситуация, когда увеличение числа одновременно обрабатываемых задач приводит к снижению производительности процессора или к росту времени отклика в виртуализированной среде [2, 3].
Кроме того, такая модель становится особенно актуальной в контексте задач проектирования отказоустойчивых систем и систем с гарантированным качеством обслуживания (QoS). В реальных условиях пользователи и администраторы сталкиваются с необходимостью предсказывать поведение системы при росте нагрузки, управлять ресурсами в условиях ограничений и обеспечивать заданный уровень обслуживания в условиях деградации. Исследование систем с функциональной скоростью обслуживания позволяет прогнозировать не только средние характеристики, но и вероятностные показатели, связанные с рисками превышения порогов отклика или пропускной способности. Это открывает путь к формированию интеллектуальных стратегий управления нагрузкой и автоматического масштабирования вычислительных ресурсов [4, 5].
Настоящее исследование посвящено аналитическому и численному анализу модели мМ от, в которой интенсивность обслуживания зависит от состояния системы. В частности, рассматривается случай, когда при росте количества заявок наблюдается снижение индивидуальной скорости обработки, что позволяет моделировать конкуренцию задач за вычислительные ресурсы. Такая ситуация характерна, например, для серверов в облачных инфраструктурах, где увеличение числа пользователей может привести к деградации производительности и необходимости динамического перераспределения задач или подключения дополнительных вычислительных узлов [6, 7].
Целью работы является имитационное и аналитическое исследование характеристик модели вычислительного узла в виде системы массового обслуживания с деградацией скорости обслуживания, а также анализ чувствительности этих характеристик к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации.
Задачи:
1. Построить математическую модель вычислительного узла в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и наличием деградации скорости обслуживания.
2. Получить аналитические формулы для нахождения стационарного распределения вероятностей числа одновременно выполняемых запросов на узле при экспоненциальном законе их объема.
3. Разработать и реализовать имитационную модель предложенной системы, позволяющую моделировать работу вычислительного узла и находить различные характеристики при разных законах распределения объемов поступающих запросов и видах функции деградации скорости обслуживания .
4. Получить аналитические формулы, в том числе с помощью асимптотических методов, для характеристик потока обработанных запросов при экспоненциальном распределении объемов запросов.
5. Провести численные эксперименты, по расчету распределения вероятностей числа одновременно выполняемых запросов в узле с помощью аналитических формул и результатов имитационного моделирования, позволяющих оценить чувствительность результатов к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации.
6. Провести численные эксперименты по расчету распределения вероятностей времени выполнения в узле с помощью результатов имитационного моделирования, позволяющих оценить чувствительность результатов к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации
7. Провести численные эксперименты по расчету характеристик потока обработанных запросов в узле с помощью аналитических формул и результатов имитационного моделирования, позволяющих оценить чувствительность результатов к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации.
Исторически теория массового обслуживания возникла в ответ на практическую необходимость повысить эффективность телекоммуникационных систем, и её основы были заложены в начале XX века А. К. Эрлангом [1] при анализе телефонных линий. Однако с течением времени её применение значительно расширилось: от моделирования логистических цепочек и систем здравоохранения до управления информационными потоками в высокопроизводительных вычислительных инфраструктурах. Сегодняшние вычислительные системы, такие как облачные сервисы, дата-центры, киберфизические системы и IoT-архитектуры, характеризуются высокой степенью параллелизма и переменной нагрузкой, что требует всё более точных и адаптивных моделей обслуживания.
Особый интерес вызывает анализ систем с бесконечным числом обслуживающих устройств, в которых отсутствует явное накопление очередей, а каждое новое требование обрабатывается немедленно, при этом скорость обслуживания может изменяться в зависимости от внешних и внутренних факторов. В частности, модель MМ: |от (индекс i означает наличие зависимости интенсивности обслуживания заявок от числа занятых приборов), в которой скорость обслуживания является функцией от состояния системы, позволяет учесть эффект деградации ресурсов, связанный с износом оборудования, перегрузками или адаптивным управлением мощностями. Примером может служить ситуация, когда увеличение числа одновременно обрабатываемых задач приводит к снижению производительности процессора или к росту времени отклика в виртуализированной среде [2, 3].
Кроме того, такая модель становится особенно актуальной в контексте задач проектирования отказоустойчивых систем и систем с гарантированным качеством обслуживания (QoS). В реальных условиях пользователи и администраторы сталкиваются с необходимостью предсказывать поведение системы при росте нагрузки, управлять ресурсами в условиях ограничений и обеспечивать заданный уровень обслуживания в условиях деградации. Исследование систем с функциональной скоростью обслуживания позволяет прогнозировать не только средние характеристики, но и вероятностные показатели, связанные с рисками превышения порогов отклика или пропускной способности. Это открывает путь к формированию интеллектуальных стратегий управления нагрузкой и автоматического масштабирования вычислительных ресурсов [4, 5].
Настоящее исследование посвящено аналитическому и численному анализу модели мМ от, в которой интенсивность обслуживания зависит от состояния системы. В частности, рассматривается случай, когда при росте количества заявок наблюдается снижение индивидуальной скорости обработки, что позволяет моделировать конкуренцию задач за вычислительные ресурсы. Такая ситуация характерна, например, для серверов в облачных инфраструктурах, где увеличение числа пользователей может привести к деградации производительности и необходимости динамического перераспределения задач или подключения дополнительных вычислительных узлов [6, 7].
Целью работы является имитационное и аналитическое исследование характеристик модели вычислительного узла в виде системы массового обслуживания с деградацией скорости обслуживания, а также анализ чувствительности этих характеристик к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации.
Задачи:
1. Построить математическую модель вычислительного узла в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и наличием деградации скорости обслуживания.
2. Получить аналитические формулы для нахождения стационарного распределения вероятностей числа одновременно выполняемых запросов на узле при экспоненциальном законе их объема.
3. Разработать и реализовать имитационную модель предложенной системы, позволяющую моделировать работу вычислительного узла и находить различные характеристики при разных законах распределения объемов поступающих запросов и видах функции деградации скорости обслуживания .
4. Получить аналитические формулы, в том числе с помощью асимптотических методов, для характеристик потока обработанных запросов при экспоненциальном распределении объемов запросов.
5. Провести численные эксперименты, по расчету распределения вероятностей числа одновременно выполняемых запросов в узле с помощью аналитических формул и результатов имитационного моделирования, позволяющих оценить чувствительность результатов к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации.
6. Провести численные эксперименты по расчету распределения вероятностей времени выполнения в узле с помощью результатов имитационного моделирования, позволяющих оценить чувствительность результатов к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации
7. Провести численные эксперименты по расчету характеристик потока обработанных запросов в узле с помощью аналитических формул и результатов имитационного моделирования, позволяющих оценить чувствительность результатов к закону распределения объема поступающих запросов и виду функции деградации.
В ходе исследования бесконечнолинейной системы массового обслуживания с деградацией скорости обслуживания были первоначально построены и решены уравнения Колмогорова в стационарном режиме, что дало аналитическую основу для последующей проверки модельных гипотез. Параллельно разработаны две дискретно-событийные имитационные модели, реализующие разные подходы к учёту деградации: метод повторной генерации и метод растягивания. Обе модели позволили получить эмпирические оценки распределения вероятностей числа активных приборов и времени их обслуживания, а также измерить время работы алгоритмов. Для распределения времени обслуживания предложена численная аппроксимация, демонстрирующая высокую точность при сильной загрузке. Расстояние Колмогорова между теоретическими и эмпирическими результатами не превышает 0,05. Экспериментально установлено, что оба подхода дают близкие результаты, а влияние начального распределения времени обслуживания проявляется лишь через выбранную функцию деградации.
Далее, на основе имитационной модели выходящего потока, рассчитаны коэффициенты вариации длин интервалов выходящего потока и корреляции длин соседних интервалов для различных законов объёма поступающих требований (экспоненциальный, детерминированный, равномерный, гамма-распределение) и форм деградации. Выявлено, что наличие деградации не приводит к возникновению значительной корреляции во входящем потоке: при усилении эффекта деградации коэффициент корреляции возрастает, а коэффициент вариации уменьшается, причём наибольшее отклонение от классических значений наблюдается при детерминированном объёме заявок. При этом выходящий поток сохраняет пуассоновские свойства (коэффициент вариации ~ 1, автокорреляция ~0), что существенно упрощает его анализ и прогнозирование.
Методом асимптотического анализа была составлена и решена система уравнений Колмогорова для совместного процесса i(t) - числа заявок в системе и m(t) - числа событий в выходящем потоке. Проверка предельных условий показала, что при увеличении времени наблюдения за выходящим потоком аппроксимация асимптотического решения становится точнее: расстояние Колмогорова между
имитационным и асимптотическим распределением числа событий выходящего потока снижается от 0,078 при T = 2 до 0,024 при T = 10.
После асимптотического анализа выходящий потока был рассмотрен в качестве MAP-потока и было проверено пуассоновское свойство MAP-потока, благодаря которому получилось доказать, что i(t) и m(t) стохастически независимы. Применив теорему о том, что MAP-поток с независимыми i(t) и m(t) является простейшим, установлено, что выходящий поток системы с деградацией скорости остаётся пуассоновским, несмотря на зависимость интенсивности обслуживания от текущей загрузки.
Таким образом, даже при усложнённых сценариях деградации скорости обслуживания заявок, сохраняются все ключевые свойства простейшего потока, что значительно облегчает аналитический учёт и дальнейшее применение результатов в задачах оптимизации и управления ресурсами распределённых систем.
Результаты, полученные в данной работе, обладают высокой прикладной значимостью и могут быть использованы при проектировании и оптимизации вычислительных узлов в составе облачных инфраструктур. Разработанная модель системы массового обслуживания с деградацией скорости обслуживания отражает поведение реальных вычислительных ресурсов при росте нагрузки, что особенно актуально для облачных и распределённых систем, характеризующихся переменным числом одновременно обслуживаемых запросов.
С практической точки зрения, применение данной модели позволяет более точно оценивать пределы пропускной способности вычислительного узла, прогнозировать моменты наступления перегрузки и заранее определять необходимость масштабирования системы. Это, в свою очередь, обеспечивает возможность обоснованного автоматического распределения нагрузки между узлами, оптимизации стратегий балансировки и эффективного использования ресурсов в условиях ограниченной производительности.
Кроме того, сохранение пуассоновских свойств выходящего потока даже при наличии деградации обслуживания существенно упрощает моделирование и анализ таких систем, позволяя использовать более простые аналитические методы при сохранении достаточной точности. Это имеет прямое применение в системах мониторинга и управления качеством обслуживания (SLA), где требуется оперативное принятие решений на основе предсказуемого поведения системы.
По материалам диссертации было опубликовано 4 работы:
• Романов В. В. Имитационный анализ характеристик выходящего потока бесконечнолинейной системы с деградацией скорости обслуживания / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2024): материалы XXIII Международной конференции им. А.Ф. Терпугова. - 2024. - С. 202-207.
• Романов В. В. Имитационный анализ марковской модели вычислительного узла / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // Математика: материалы 62-й Международной научной студенческой конференции. - 2024 - С. 213-214.
• Романов В. В. Анализ загруженности вычислительного узла при разных
распределениях объема поступающих задач / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // ИТ. Наука. Креатив: материалы I Международного форума в 5-ти томах. - 2024. - Т. 5. - С.
237-243.
• Романов В. В. Пуассоновское свойство MAP-потока для выходящего
потока системы с деградацией скорости обслуживания / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // Международная конференция “Школа теории массового обслуживания”. - 2025 - Томск, (в печати).
Далее, на основе имитационной модели выходящего потока, рассчитаны коэффициенты вариации длин интервалов выходящего потока и корреляции длин соседних интервалов для различных законов объёма поступающих требований (экспоненциальный, детерминированный, равномерный, гамма-распределение) и форм деградации. Выявлено, что наличие деградации не приводит к возникновению значительной корреляции во входящем потоке: при усилении эффекта деградации коэффициент корреляции возрастает, а коэффициент вариации уменьшается, причём наибольшее отклонение от классических значений наблюдается при детерминированном объёме заявок. При этом выходящий поток сохраняет пуассоновские свойства (коэффициент вариации ~ 1, автокорреляция ~0), что существенно упрощает его анализ и прогнозирование.
Методом асимптотического анализа была составлена и решена система уравнений Колмогорова для совместного процесса i(t) - числа заявок в системе и m(t) - числа событий в выходящем потоке. Проверка предельных условий показала, что при увеличении времени наблюдения за выходящим потоком аппроксимация асимптотического решения становится точнее: расстояние Колмогорова между
имитационным и асимптотическим распределением числа событий выходящего потока снижается от 0,078 при T = 2 до 0,024 при T = 10.
После асимптотического анализа выходящий потока был рассмотрен в качестве MAP-потока и было проверено пуассоновское свойство MAP-потока, благодаря которому получилось доказать, что i(t) и m(t) стохастически независимы. Применив теорему о том, что MAP-поток с независимыми i(t) и m(t) является простейшим, установлено, что выходящий поток системы с деградацией скорости остаётся пуассоновским, несмотря на зависимость интенсивности обслуживания от текущей загрузки.
Таким образом, даже при усложнённых сценариях деградации скорости обслуживания заявок, сохраняются все ключевые свойства простейшего потока, что значительно облегчает аналитический учёт и дальнейшее применение результатов в задачах оптимизации и управления ресурсами распределённых систем.
Результаты, полученные в данной работе, обладают высокой прикладной значимостью и могут быть использованы при проектировании и оптимизации вычислительных узлов в составе облачных инфраструктур. Разработанная модель системы массового обслуживания с деградацией скорости обслуживания отражает поведение реальных вычислительных ресурсов при росте нагрузки, что особенно актуально для облачных и распределённых систем, характеризующихся переменным числом одновременно обслуживаемых запросов.
С практической точки зрения, применение данной модели позволяет более точно оценивать пределы пропускной способности вычислительного узла, прогнозировать моменты наступления перегрузки и заранее определять необходимость масштабирования системы. Это, в свою очередь, обеспечивает возможность обоснованного автоматического распределения нагрузки между узлами, оптимизации стратегий балансировки и эффективного использования ресурсов в условиях ограниченной производительности.
Кроме того, сохранение пуассоновских свойств выходящего потока даже при наличии деградации обслуживания существенно упрощает моделирование и анализ таких систем, позволяя использовать более простые аналитические методы при сохранении достаточной точности. Это имеет прямое применение в системах мониторинга и управления качеством обслуживания (SLA), где требуется оперативное принятие решений на основе предсказуемого поведения системы.
По материалам диссертации было опубликовано 4 работы:
• Романов В. В. Имитационный анализ характеристик выходящего потока бесконечнолинейной системы с деградацией скорости обслуживания / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2024): материалы XXIII Международной конференции им. А.Ф. Терпугова. - 2024. - С. 202-207.
• Романов В. В. Имитационный анализ марковской модели вычислительного узла / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // Математика: материалы 62-й Международной научной студенческой конференции. - 2024 - С. 213-214.
• Романов В. В. Анализ загруженности вычислительного узла при разных
распределениях объема поступающих задач / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // ИТ. Наука. Креатив: материалы I Международного форума в 5-ти томах. - 2024. - Т. 5. - С.
237-243.
• Романов В. В. Пуассоновское свойство MAP-потока для выходящего
потока системы с деградацией скорости обслуживания / В. В. Романов, И. Л. Лапатин // Международная конференция “Школа теории массового обслуживания”. - 2025 - Томск, (в печати).