Введение 3
Глава 1. Непараметрическая оценка условной функции надежности 6
1.1. Данные типа времени жизни 6
1.2. Модели надежности 8
1.3. Непараметрическая оценка Берана условной функции надёжности 11
1.4. Бутстрап-метод 14
Глава 2. Комбинированный метод оценки условной функции надежности 15
2.1. Построение комбинированной оценки 15
Глава 3. Результаты имитационного моделирования 18
3.1. Моделирование оценки Берана 18
3.2. Моделирование комбинированной оценки 20
Заключение 26
Список использованной литературы 27
Приложение А. Код программы для построения комбинированной оценки 30
используются в отраслях промышленности, экономики, медицины, социологии и в других науках.
Одними из важнейших методов в прикладной математической статистике являются методы анализа надежности и выживаемости. В теории надежности изучаются закономерности возникновения отказов технических устройств, причины и модели их наступления. Методы теории надежности применимы в любой области знаний, где объектом исследования является длительность жизни объектов до отказа, при котором данный объект перестает выполнять свои функции. Следует отметить, что отказ сложного технического устройства в большинстве случаев влечет за собой потери различного рода. В промышленности отказом является выход из строя изделия, в медицине - смерть пациента, в экономике - банкротство компании и т.д.
Свойство объекта поддерживать рабочее состояние в течение некоторого периода времени называется надёжностью объекта. Или более формально: надёжность — свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортировки.
Основным понятием в теории надежности является функция надежности, которая определяет вероятность безотказной работы объекта за некоторый период времени [0, T] [24]. Так как на практике функция надежности неизвестна, для ее оценки используются как параметрические методы [6, 8, 9, 14, 18, 19, 20], так и непараметрические методы [3, 10, 11, 13].
При построении вероятностных моделей функции надежности необходимо учитывать зависимость вероятности безотказной работы от значений объясняющих переменных, называемых ковариатами [2, 9, 25, 15]. В качестве ковариат обычно выступают факторы, воздействующие на объект в процессе наблюдения и оказывающие влияние на его функцию надежности, например, температура, давление в промышленности, возраст пациента в медицине и т.п.
Одной из наиболее распространённых моделей зависимости функции надежности от ковариат, используемая в теории надежности, является модель пропорциональных интенсивностей Кокса [5]. Данная модель применяется в тех случаях, когда отношение функций риска для объектов с разными значениями ковариат остается постоянным во времени.
Непараметрические методы построения моделей функции надежности рассматривались в работах многих авторов. В частности, можно выделить работы И. Ван Кейлегома (I. Van Keilegom), М. Аркитаса (M.Arkitas), Н. Веравербеке (N. Veraverbeke), В. Хардле (V. Hardle) [1, 17, 16, 27], среди отечественных авторов - Г.М. Кошкина, А.В. Медведева [21, 23]. Непараметрические методы не требуют никаких априорных сведений о виде модели или иных специальных условий для данных.
Одной из непараметрических оценок функции надежности является оценка, предложенная Бераном [4]. Основным преимуществом данной оценки является то, что она позволяет учитывать зависимость функции надежности от объясняющих переменных. Непараметрическая оценка Берана является обобщением оценки Каплана-Мейера [8], которая не учитывает влияния ковариат на функцию надежности.
Особую роль при построении непараметрических оценок играет выбор параметра размытости, от которого существенно зависит точность получаемых оценок [26, 27]. При расчете весовых коэффициентов для построении оценки Берана необходимо знать значение параметра размытости. Среди публикаций на эту тему можно отметить [7], где предлагается решение данной задачи с помощью бутстрап-метода в предположении, что ковариата является случайной величиной и определяется некоторым законом распределения.
В задачах теории надежности для получения оценки функции надёжности мы сталкиваемся с проблемой малого объема информации (статистических данных). В условиях малого объёма данных возрастают требования к качеству оценки функции надёжности. Для повышения качества оценок используют комбинированные методы оценивания. Поскольку параметрические и непараметрические методы оценивания функции надежности достаточно хорошо изучены, в данной работе рассматривается задача о построении комбинированной оценки функции надёжности, используя как параметрический, так и непараметрический подходы.
В соответствии с поставленной целью работы получены следующие основные результаты.
1. Изучен непараметрический подход оценивания функции надежности, а именно построение непараметрической оценки Берана регрессионной модели надёжности, которая учитывает степень влияния ковариаты на функцию надёжности.
2. Применен бутстрап-метод для оценки весового коэффициента, с помощью которого строится затем комбинированная оценка функции надежности.
3. С помощью численного моделирования проведено исследование полученной комбинированной оценки и показано ее преимущество над оценкой Берана в смысле средней относительной ошибки.
