ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

Аннотация 3
Введение 3
Глава 1 Основные свойства разностных схем 5
1.1 Аппроксимация 5
1.2 Устойчивость 8
1.3 Сходимость 9
Глава 2 Обзор методов решения систем линейных алгебраических
уравнений 11
2.1 Метод Якоби 11
2.2 Метод Зейделя 13
2.3 Метод сопряженных градиентов 14
Глава 3 Численное решение уравнения Пуассона 19
3.1 Математическая постановка задачи 19
3.2 Дискретизация исходной дифференциальной задачи 19
3.3 Построение дискретного аналога уравнения Пуассона 21
3.4 Реализация метода Зейделя 26
3.5 Реализация метода сопряженных градиентов 26
3.6 Порядок аппроксимации разностной схемы 27
Глава 4 Численные эксперименты и анализ результатов 31
Заключение 38
Список использованных источников и литературы 39
ПРИЛОЖЕНИЕ А 41
Программная реализация разработанного алгоритма численного решения уравнения Пуассона 41

Купить

В данной работе рассматривается численное решение дифференциального уравнения в частных производных, т.е. уравнения которое содержит неизвестные функции нескольких переменных и соответственно их частные производные. Конкретно рассматривается задача численного решения уравнения Пуассона. Это уравнение является эллиптическим дифференциальным уравнением в частных производных, которое может описывать электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления или поле потенциала скорости в гидродинамике [8].
Решение данного уравнения сложно получить аналитическим методом, поэтому для нахождения решения использовались численные методы вычислительной математики. Для аппроксимации будет использован метод конечного объёма, который предполагает под собой построение декартовой сетки и численное интегрирование исходного дифференциального уравнения по каждой ячейки сетки. Данный метод позволяет от решения дифференциального уравнения перейти к решению системы линейных алгебраических уравнений.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений могут использоваться прямые или итерационные методы. Прямые методы дают точное решение за конечное число шагов, но при этом имеют большую погрешность при округлении. Помимо этого их нельзя применить к решению систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Итерационные методы лишены этого недостатка и дают точное решение в виде предела последовательности, приближенной к решению.
Цели работы:
- Изучение метода конечного объема и его применение для дискретизации уравнения Пуассона;
- Изучение основных понятий и определений теории разностных схем;
- Обзор и классификация методов решения систем линейных алгебраических уравнений;
- Применение метода Зейделя и метода сопряженных градиентов для решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающей при численном решении уравнения Пуассона;
- Программная реализация алгоритма численного решения уравнения Пуассона.
Купить