Актуальность темы. Мультипликативные модули являются важным разделом в теории модулей, поскольку структура самого модуля тесно связана со структурой кольца, над которым рассматривается данный модуль. Имеется много работ, посвящённых мультипликационным модулям как над коммутативными, так и над некоммутативными кольцами, в частности, им посвящена монография А. А. Туганбаева .
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей. Если не оговорено противное, все модули предполагаются правыми и унитарными. Выражение типа “нётерово кольцо” означают, что соответствующие условия выполнены справа и слева. Правый модуль M над кольцом A называется мультипликационным, если для каждого подмодуля N модуля M существует такой идеал B кольца A, что N=MB.
Приведём некоторые примеры мультипликационных модулей. Пусть А - инвариантное справа кольцо (кольцо A называется инвариантным справа (соотв. инвариантным слева), если каждый его правый (левый) идеал является идеалом кольца A), то каждый его циклический правый модуль является мультипликационным модулем и каждый его идеал, порожденный идемпотентами, является мультипликационным левым (правым) модулем. Кроме того, каждый обратимый идеал инвариантного кольца А является конечно порожденным мультипликационным правым (левым) А-модулем. Если {Fi}ieI - бесконечное множество полей и А - прямое произведение всех полей Fi, то прямая сумма Fi , i£l, - мультипликационный А-модуль, не являющийся конечно порожденным.
Цель работы. Целью работы является изучение мультипликационных модулей над не обязательными коммутативными кольцами.
Задачи.
1) Изучить общие свойства мультипликационных модулей.
2) Изучить мультипликационные модули над инвариантными кольцами.
3) Решить упражнения, связанные с общими свойствами мультипликационных модулей.
4) Привести новыми примеры мультипликационных модулей.
Методы исследования. В работе использовались методы теории модулей.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются модули. Предметом исследования являются мультипликационные модули над не обязательным коммутативным кольцом.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, основной части, включающей в себя два параграфа, заключения и списка литературы. В первом параграфе описываются основные свойства мультипликационных модулей. Во втором параграфе рассматриваются мультипликационные модули над инвариантными кольцами. Объем работы составляет 35 страниц.
В дипломной работе были изучены:
1) общие свойства мультипликационных модулей;
2) мультипликационные модули над инвариантными кольцами.
Решены некоторые упражнения и приведены новые примеры мультипликационных модулей.
