ОЦЕНИВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С НЕИЗВЕСТНЫМ ВХОДОМ И ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Общее описание математической модели 7
2 Экстраполятор Калмана 9
2.1 Алгоритм оценивания объекта системы 9
2.2 Алгоритм оценивания неизвестного входа 11
3 Фильтр Калмана 12
3.1 Алгоритм оценивания объекта системы 12
3.2 Алгоритм оценивания неизвестного входа 14
4 Применение методов временных рядов 15
4.1 Метод простого скользящего среднего 17
4.2 Метод экспоненциального сглаживания 18
4.3 Метод Хольта 19
5 Результаты моделирования 20
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 28
ПРИЛОЖЕНИЕ А Программа оценивания дискретных систем с помощью алгоритма экстраполяции Калмана 30
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программа оценивания дискретных систем с помощью алгоритма фильтрации Калмана 31
ПРИЛОЖЕНИЕ В Программы оценивания дискретных систем с помощью известных статистических методов 32

Купить

Задача оценивания дискретных систем состоит в прогнозировании значений в будущем времени. За основу берутся уже имеющиеся данные, которые могут включать в себя временные ряды, графики и другие структуры данных. [9].
Существует несколько методов прогнозирования дискретных систем, в том числе: методы временных рядов, машинного обучения, статистического анализа и экспертных оценок. Каждый методов работает на различных алгоритмах, например определение цикличности временного ряда, регрессионные модели, метод наименьших квадратов и статистические методы.
Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, и выбор метода зависит от конкретной задачи и доступных данных [2].
В качестве примеров можно рассмотреть несколько задач:
1. Задача прогнозирования роста численности населения, которая является одной из ключевых, решаемых в рамках анализа демографической ситуации. На уровне отдельных групп (стран, регионов и т.д.) в основе прогнозирования лежат модели, описывающие динамику естественного прироста населения с учетом миграционных процессов [8].
2. Задача оптимизации запасов и эффективного управления ими.
Состояние запасов оказывает определяющее влияние на конкурентоспособность предприятия, его финансовое состояние и финансовые результаты деятельности. Использование научных методов управления запасами позволяет выявить скрытые внутренние ресурсы предприятия, что представляет собой значительный резерв повышения рентабельности его хозяйственной деятельности [3].
Одним из известных методов оценивания систем является алгоритм экстраполяции и фильтрации Калмана [6].
Экстраполятор Калмана - это алгоритм, который используется для прогнозирования будущих значений состояния системы на основе предыдущих измерений с учетом шумов и неопределенности в данных.
Алгоритм работает на основе модели системы, которая описывает ее динамику и зависимости между ее состояниями и входными данными. Он использует последние измерения состояния системы для оценки текущего состояния и затем прогнозирует будущие значения на основе этой оценки и модели системы. Это позволяет уменьшить ошибку прогнозирования и увеличить точность прогноза. [10].
Для прогнозирования значений экстраполятор вычисляет матрицу ковариации ошибки построения. Данная матрица описывает, насколько точно построенный прогноз соответствует реальной дискретной системе. Эта матрица обновляется на основе уже существующих измерений. Данный подход позволяет скорректировать предсказания и увеличить точность прогнозов [9].
Экстраполятор Калмана может быть использован для прогнозирования различных систем. Среди таких систем можно выделить ускорение,
положение, скорость, и другие. Он может быть применен в различных областях, таких как авиация, автомобильная промышленность, медицинская техника, автомобильная промышленность и другие[11].
Фильтр Калмана — это реккурентный алгоритм оценки состояния динамической системы по результатам предыдущих измерений. Он широко применяется в задачах навигации, управления, обработки сигналов и прогнозирования благодаря своей способности эффективно учитывать как динамику системы, так и статистические характеристики шумов [6].
Основные этапы работы фильтра Калмана включают:
1. Прогнозирование состояния - на основе математической модели системы предсказывается следующее состояние и его ковариационная матрица [12].
2. Коррекция по измерениям - полученные данные используются для уточнения предсказанного состояния с учетом погрешностей измерений[10].
Фильтр Калмана особенно полезен в задачах, где требуется обработка данных в реальном времени, а также при наличии неопределенностей в модели системы. В данной работе он применяется не только для прогнозирования состояния, но и для совместной оценки неизвестного входного воздействия[11].
В настоящей работе рассмотрена задача оценивания дискретной системы с неизвестным входом в модели объекта. Задача оценивания решается с помощью рекуррентного алгоритма экстраполятора Калмана и рекуррентного алгоритма фильтра Калмана. Оценка неизвестного входа строится с использованием алгоритмов МНК и непараметрического сглаживания. Для сравнения приводятся методы вычисления оценки с помощью временных рядов (метод простого скользящего среднего, метод экспоненциального сглаживания, метод Хольта) [1].
Цель работы - построение и исследование алгоритмов оценивания дискретной системы с неизвестным входом.
Задачи:
1) Построение оценки с помощью рекуррентного алгоритма экстраполяции Калмана
2) Построение оценки с помощью рекуррентного алгоритма фильтрации Калмана
3) Сравнение построенных оценок и оценок, полученных с помощью методов временных рядов.
Результаты работы докладывались на двух конференциях:
1. XI-я международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» Россия, Томск, 24 - 27 мая 2024 г.
2. XII-я международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» Россия, Томск, 23 - 26 мая 2025 г.

Купить