СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДОЛЕЙ С УЧЕТОМ АПРИОРНЫХ ДОГАДОК
|
ВВЕДЕНИЕ 5
1 Классические оценки вероятности и доли 7
1.1 Оценка вероятности 7
1.2 Оценка доли 8
2 Комбинированная оценка вероятности 9
2.1 Структура комбинированной оценки вероятности 9
2.2 Адаптивные комбинированные оценки вероятности 11
2.2.1 Адаптивная оценка №1 11
2.2.2 Адаптивная оценка №2 12
2.2.3 Адаптивная оценка №3 13
2.2.4 Адаптивная оценка №4 14
2.2.5 Адаптивная оценка №5 15
2.2.6 Адаптивная оценка №6 16
2.2.7 Адаптивная оценка №7 17
3 Анализ СКО комбинированных адаптивных оценок вероятности при конечном объеме
наблюдений 18
4 Комбинированная оценка вероятности с учетом многих априорных догадок 26
4.1 Структура комбинированной оценки вероятности с учетом многих априорных
догадок 26
4.2 Адаптивная комбинированная оценка вероятности с учетом многих априорных
догадок 27
5 Анализ СКО комбинированной и адаптивной комбинированной оценок вероятности с
учетом многих априорных догадок при конечном объеме наблюдений 28
6 Комбинированная оценка доли 31
6.1 Структура комбинированной оценки доли 31
6.2 Адаптивные комбинированные оценки доли 31
6.2.1 Адаптивная оценка №1 31
6.2.2 Адаптивная оценка №2 33
6.2.3 Адаптивная оценка №3 34
6.2.4 Адаптивная оценка №4 35
6.2.5 Адаптивная оценка №5 36
6.2.6 Адаптивная оценка №6 37
6.2.7 Адаптивная оценка №7 38
7 Анализ СКО комбинированных адаптивных оценок доли при конечном объеме
наблюдений 39
8 Комбинированная оценка доли с учетом многих априорных догадок 45
8.1 Структура комбинированной оценки доли с учетом многих априорных догадок 45
8.2 Адаптивная комбинированная оценка доли 45
9 Анализ СКО комбинированной и адаптивной комбинированной оценок доли с учетом
многих априорных догадок при конечном объеме наблюдений 47
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 54
ПРИЛОЖЕНИЕ А Программа, реализованная в пакете R 56
1 Классические оценки вероятности и доли 7
1.1 Оценка вероятности 7
1.2 Оценка доли 8
2 Комбинированная оценка вероятности 9
2.1 Структура комбинированной оценки вероятности 9
2.2 Адаптивные комбинированные оценки вероятности 11
2.2.1 Адаптивная оценка №1 11
2.2.2 Адаптивная оценка №2 12
2.2.3 Адаптивная оценка №3 13
2.2.4 Адаптивная оценка №4 14
2.2.5 Адаптивная оценка №5 15
2.2.6 Адаптивная оценка №6 16
2.2.7 Адаптивная оценка №7 17
3 Анализ СКО комбинированных адаптивных оценок вероятности при конечном объеме
наблюдений 18
4 Комбинированная оценка вероятности с учетом многих априорных догадок 26
4.1 Структура комбинированной оценки вероятности с учетом многих априорных
догадок 26
4.2 Адаптивная комбинированная оценка вероятности с учетом многих априорных
догадок 27
5 Анализ СКО комбинированной и адаптивной комбинированной оценок вероятности с
учетом многих априорных догадок при конечном объеме наблюдений 28
6 Комбинированная оценка доли 31
6.1 Структура комбинированной оценки доли 31
6.2 Адаптивные комбинированные оценки доли 31
6.2.1 Адаптивная оценка №1 31
6.2.2 Адаптивная оценка №2 33
6.2.3 Адаптивная оценка №3 34
6.2.4 Адаптивная оценка №4 35
6.2.5 Адаптивная оценка №5 36
6.2.6 Адаптивная оценка №6 37
6.2.7 Адаптивная оценка №7 38
7 Анализ СКО комбинированных адаптивных оценок доли при конечном объеме
наблюдений 39
8 Комбинированная оценка доли с учетом многих априорных догадок 45
8.1 Структура комбинированной оценки доли с учетом многих априорных догадок 45
8.2 Адаптивная комбинированная оценка доли 45
9 Анализ СКО комбинированной и адаптивной комбинированной оценок доли с учетом
многих априорных догадок при конечном объеме наблюдений 47
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 54
ПРИЛОЖЕНИЕ А Программа, реализованная в пакете R 56
При анализе и прогнозировании функционирования финансовых рынков и складывающейся экономической ситуации в мире в целом часто применяются исследования, где рассматриваются теоретические основы и практические примеры применения теории вероятности и математической статистики. При использовании методов проведения анализа нередко получаются противоречивые данные, не позволяющие однозначно и эффективно принимать решения. Поэтому в качестве инструмента при анализе и исследовании финансовых рынков, экономики и т.п. используются альтернативные методики, основанные на законах теории вероятности и математической статистики.
Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).
В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.
На всех этапах производства важная роль отводится контролю качества с целью проверки соответствия показателей качества установленным требованиям. Существует несколько методов контроля качества продукции. Можно выделить тотальный (или сплошной) контроль, который подразумевает проверку всей партии, а так же выборочный контроль, при котором исследуется лишь часть поступившей продукции. Тотальный контроль обходится слишком дорого и не целесообразен, за исключением, когда поступившая партия маленькая или каждая единица продукции дорогая и важная. Выборочный контроль ставит перед нами вопрос: сколько проверять? Ведь чем больше продукции мы подвергнем контролю, тем эффективнее будет проверка, но и обойдется она дороже. Если, например, нам нужно применить разрушающий контроль, и таким образом уничтожить часть продукции, то экономически целесообразно отобрать небольшой объем наблюдений, но при этом гарантировать точность оценивания.
Поэтому часто на практике исследователи привлекают дополнительную информацию с целью сокращения объема экспериментальных данных или повышения точности оценивания при фиксированном объеме наблюдений. Дополнительная информация может быть чрезвычайно разнообразной и полезной, и иметь различные источники поступления.
В литературе представлено многообразие методов использования дополнительной информации при оценке вероятностных характеристик. Оценки среднего были предложены в работе [1]. Оценки дисперсии при конечном объеме выборки были рассмотрены в [2]. Статистическое оценивание распределений вероятностей в [3]. Комбинированные оценки вероятности были рассмотрены [4-8]. Использование априорной информации в статистической обработке экспериментальных данных были предложены в [9].
В статье Д. Нельсона и Г. Мидан [10] приведен метод использования априорной информации о квантилях генеральной совокупности на основании конечной выборки. Рассматривается задача оценивания математического ожидания, когда известна априорная информация о том, что медиана совокупности лежит в некотором интервале.
В работе Д. Джанкарло и Ф. Перии [11] представлен метод оценивания конечного математического ожидания с использованием множественной вспомогательной информации. В данной статье предлагается общий класс оценок для математического ожидания для случайной величины на основании знания о некоторой вспомогательной информации.
В работе Дмитриева Ю.Г., Тарасенко П. Ф. и Устинова Ю. К. [7] представлен метод оценивания линейного функционала с использованием априорных догадок. Предлагаются комбинированные оценки функционала, а именно линейная комбинация непараметрической оценки и априорной догадки.
В данной работе рассматривается ситуация, когда исследователь или эксперт на основании своего опыта и знаний может высказать предположение о значениях искомой вероятности или доли генеральной совокупности. Такое значение далее будем называть априорной догадкой. Естественно возникает вопрос, каким образом учесть одну или многие априорные догадки при оценивании вероятности или доли с целью увеличения точности оценок. В данной работе предлагаются комбинированные оценки вероятности и доли, анализируются их точности по величине среднеквадратического отклонения (СКО) при конечном объеме наблюдений.
Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).
В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.
На всех этапах производства важная роль отводится контролю качества с целью проверки соответствия показателей качества установленным требованиям. Существует несколько методов контроля качества продукции. Можно выделить тотальный (или сплошной) контроль, который подразумевает проверку всей партии, а так же выборочный контроль, при котором исследуется лишь часть поступившей продукции. Тотальный контроль обходится слишком дорого и не целесообразен, за исключением, когда поступившая партия маленькая или каждая единица продукции дорогая и важная. Выборочный контроль ставит перед нами вопрос: сколько проверять? Ведь чем больше продукции мы подвергнем контролю, тем эффективнее будет проверка, но и обойдется она дороже. Если, например, нам нужно применить разрушающий контроль, и таким образом уничтожить часть продукции, то экономически целесообразно отобрать небольшой объем наблюдений, но при этом гарантировать точность оценивания.
Поэтому часто на практике исследователи привлекают дополнительную информацию с целью сокращения объема экспериментальных данных или повышения точности оценивания при фиксированном объеме наблюдений. Дополнительная информация может быть чрезвычайно разнообразной и полезной, и иметь различные источники поступления.
В литературе представлено многообразие методов использования дополнительной информации при оценке вероятностных характеристик. Оценки среднего были предложены в работе [1]. Оценки дисперсии при конечном объеме выборки были рассмотрены в [2]. Статистическое оценивание распределений вероятностей в [3]. Комбинированные оценки вероятности были рассмотрены [4-8]. Использование априорной информации в статистической обработке экспериментальных данных были предложены в [9].
В статье Д. Нельсона и Г. Мидан [10] приведен метод использования априорной информации о квантилях генеральной совокупности на основании конечной выборки. Рассматривается задача оценивания математического ожидания, когда известна априорная информация о том, что медиана совокупности лежит в некотором интервале.
В работе Д. Джанкарло и Ф. Перии [11] представлен метод оценивания конечного математического ожидания с использованием множественной вспомогательной информации. В данной статье предлагается общий класс оценок для математического ожидания для случайной величины на основании знания о некоторой вспомогательной информации.
В работе Дмитриева Ю.Г., Тарасенко П. Ф. и Устинова Ю. К. [7] представлен метод оценивания линейного функционала с использованием априорных догадок. Предлагаются комбинированные оценки функционала, а именно линейная комбинация непараметрической оценки и априорной догадки.
В данной работе рассматривается ситуация, когда исследователь или эксперт на основании своего опыта и знаний может высказать предположение о значениях искомой вероятности или доли генеральной совокупности. Такое значение далее будем называть априорной догадкой. Естественно возникает вопрос, каким образом учесть одну или многие априорные догадки при оценивании вероятности или доли с целью увеличения точности оценок. В данной работе предлагаются комбинированные оценки вероятности и доли, анализируются их точности по величине среднеквадратического отклонения (СКО) при конечном объеме наблюдений.
В данной работе рассматривались комбинированные и адаптивные оценки вероятности и доли с учетом одной или многих априорных догадок при конечном объеме наблюдений. Были проведены сравнение этих оценок по СКО, и проанализированы условия, при которых, адаптивные оценки вероятности и доли предпочтительнее по СКО обычной оценки.
Сравнительный анализ выигрышей по СКО в точках, где априорная догадка совпадает с истинным значением вероятности или доли, а также интервалы значений для истиной вероятности или доли, при попадании в который имеется выигрыш в оценивании, для комбинированных и адаптивных оценок при разных комбинациях Р, n, N, щ и щ, а также ^ и ра позволил сделать вывод о том, в каких случаях применять ту или иную адаптивную оценку.
Сравнение адаптивных оценок №1 - №6 показало, что имеются области значений для истиной вероятности или доли, в которых вторая адаптивная оценка предпочтительнее по СКО обычной оценки и первой адаптивной оценке, а четвертая адаптивная оценка предпочтительнее по СКО обычной оценке и третьей адаптивной оценке, также шестая адаптивная оценка предпочтительнее по СКО обычной и пятой адаптивной оценке. Имеются области, где четвертая и шестая адаптивные оценки предпочтительнее обычной оценки и адаптивным оценкам №1 - №3 и №5.
Таким образом, можем отметить, что при использовании четвертой и шестой адаптивных оценок получаем максимальный выигрыш по СКО. Но стоит учесть, что при этом, интервал значения для истинной вероятности или доли, где наблюдается выигрыш, является одним из наименьших относительно остальных оценок. Так же вне этого интервала наблюдается резкий рост проигрыша по СКО.
Наименьший проигрыш по СКО получаем при использовании первой адаптивной оценки. Так же можно отметить, что интервал, где имеется выигрыш, является одним из наибольших относительно остальных оценок.
Наибольший интервал значений для истиной вероятности или доли получаем при использовании второй адаптивной оценки.
При использовании адаптивной комбинированной оценки №7 эксперт или исследователь может сам высказывать предположение о ценности априорной информации, т.е. выбирать стратегию, относительно которой зависит выигрыш в оценивании. Например, если ценность априорной информации высока, то большая часть веса в комбинированной оценке отдается на априорную догадку, тем самым увеличивается выигрыш в окрестности 52
точки, где априорная догадка совпадает с истинным значением вероятности или доли, но уменьшается интервал, при попадании в которой имеется выигрыш в смысле СКО. Но если ценность априорной информации подвергается сомнению, то в комбинированной оценке на априорную догадку идет маленький вес. Это дает небольшой выигрыш по СКО на достаточно большом интервале значений для истинной вероятности или доли, при попадании в который имеется выигрыш. Но следует учитывать, что при достаточно большом отклонении априорной догадки от истинного значения вероятности или доли проигрыш по СКО становится достаточно большим относительно обычной оценки.
При использовании адаптивной комбинированной оценки доли с учетом многих априорных догадок увеличение объема выборки улучается потенциальный выигрыш по СКО. А увеличение объема генеральной совокупности относительно выборки практически не влияет на выигрыш в оценивании, т.е. привлечение априорных догадок дает возможность оценить генеральную совокупность, например, из 40 единиц на основании выборки объема 5 единиц на том же уровне, что и генеральную совокупность из 10 единиц. При увеличении объема априорных догадок увеличивается интервал значений для истинной вероятности доли, при попадании в который, мы имеем выигрыш по СКО.
Можно сделать вывод о том, что использование дополнительной информации для оценивания вероятностных характеристик имеют огромный интерес в настоящее время. Привлечение априорной догадки дает улучшение в оценивании, но до конца эти методы не изучены и требуют дальнейшего развития, поэтому планируется продолжить исследование комбинированных оценок вероятности и доли.
Сравнительный анализ выигрышей по СКО в точках, где априорная догадка совпадает с истинным значением вероятности или доли, а также интервалы значений для истиной вероятности или доли, при попадании в который имеется выигрыш в оценивании, для комбинированных и адаптивных оценок при разных комбинациях Р, n, N, щ и щ, а также ^ и ра позволил сделать вывод о том, в каких случаях применять ту или иную адаптивную оценку.
Сравнение адаптивных оценок №1 - №6 показало, что имеются области значений для истиной вероятности или доли, в которых вторая адаптивная оценка предпочтительнее по СКО обычной оценки и первой адаптивной оценке, а четвертая адаптивная оценка предпочтительнее по СКО обычной оценке и третьей адаптивной оценке, также шестая адаптивная оценка предпочтительнее по СКО обычной и пятой адаптивной оценке. Имеются области, где четвертая и шестая адаптивные оценки предпочтительнее обычной оценки и адаптивным оценкам №1 - №3 и №5.
Таким образом, можем отметить, что при использовании четвертой и шестой адаптивных оценок получаем максимальный выигрыш по СКО. Но стоит учесть, что при этом, интервал значения для истинной вероятности или доли, где наблюдается выигрыш, является одним из наименьших относительно остальных оценок. Так же вне этого интервала наблюдается резкий рост проигрыша по СКО.
Наименьший проигрыш по СКО получаем при использовании первой адаптивной оценки. Так же можно отметить, что интервал, где имеется выигрыш, является одним из наибольших относительно остальных оценок.
Наибольший интервал значений для истиной вероятности или доли получаем при использовании второй адаптивной оценки.
При использовании адаптивной комбинированной оценки №7 эксперт или исследователь может сам высказывать предположение о ценности априорной информации, т.е. выбирать стратегию, относительно которой зависит выигрыш в оценивании. Например, если ценность априорной информации высока, то большая часть веса в комбинированной оценке отдается на априорную догадку, тем самым увеличивается выигрыш в окрестности 52
точки, где априорная догадка совпадает с истинным значением вероятности или доли, но уменьшается интервал, при попадании в которой имеется выигрыш в смысле СКО. Но если ценность априорной информации подвергается сомнению, то в комбинированной оценке на априорную догадку идет маленький вес. Это дает небольшой выигрыш по СКО на достаточно большом интервале значений для истинной вероятности или доли, при попадании в который имеется выигрыш. Но следует учитывать, что при достаточно большом отклонении априорной догадки от истинного значения вероятности или доли проигрыш по СКО становится достаточно большим относительно обычной оценки.
При использовании адаптивной комбинированной оценки доли с учетом многих априорных догадок увеличение объема выборки улучается потенциальный выигрыш по СКО. А увеличение объема генеральной совокупности относительно выборки практически не влияет на выигрыш в оценивании, т.е. привлечение априорных догадок дает возможность оценить генеральную совокупность, например, из 40 единиц на основании выборки объема 5 единиц на том же уровне, что и генеральную совокупность из 10 единиц. При увеличении объема априорных догадок увеличивается интервал значений для истинной вероятности доли, при попадании в который, мы имеем выигрыш по СКО.
Можно сделать вывод о том, что использование дополнительной информации для оценивания вероятностных характеристик имеют огромный интерес в настоящее время. Привлечение априорной догадки дает улучшение в оценивании, но до конца эти методы не изучены и требуют дальнейшего развития, поэтому планируется продолжить исследование комбинированных оценок вероятности и доли.
