СМО С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИЕ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Система M/M/то в марковской среде 7
1.1 Функциональные модели M/M/то в марковской среде . . 7
1.2 Математическая модель M/M/то в марковской случайной среде 8
1.3 Система уравнений Колмогорова 10
1.4 Система дифференциальных уравнений для характеристических функций 12
1.5 Метод начальных моментов 13
1.6 Асимптотический анализ первого порядка 14
1.7 Асимптотический анализ второго порядка 16
1.8 Дискретизация распределения 20
1.9 Численный анализ области применимости асимптотических результатов 20
1.10 Описание программы имитационного моделирования ... 22
2 Гетерогенная бесконечнолинейная система массового обслуживания М/М/ж в случайной среде 25
2.1 Математическая модель 25
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова для
характеристических функций 28
2.3 Метод начальных моментов для вычисления числовых вероятностных характеристик 29
2.3.1 Начальные моменты первого порядка 29
2.3.2 Начальные моменты второго порядка 32
2.3.3 Числовые характеристики для частного случая . . 33
2.4 Численный анализ влияния параметров на коэффициент корреляции 38
2.5 Асимптотический анализ 39
2.5.1 Асимптотический анализ в условиях предельно редких изменений среды 40
2.6 Асимптотический анализ при условии высокой интенсивности входящего потока и частом изменении состояний случайной среды 43
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47
ЛИТЕРАТУРА 48
1 Система M/M/то в марковской среде 7
1.1 Функциональные модели M/M/то в марковской среде . . 7
1.2 Математическая модель M/M/то в марковской случайной среде 8
1.3 Система уравнений Колмогорова 10
1.4 Система дифференциальных уравнений для характеристических функций 12
1.5 Метод начальных моментов 13
1.6 Асимптотический анализ первого порядка 14
1.7 Асимптотический анализ второго порядка 16
1.8 Дискретизация распределения 20
1.9 Численный анализ области применимости асимптотических результатов 20
1.10 Описание программы имитационного моделирования ... 22
2 Гетерогенная бесконечнолинейная система массового обслуживания М/М/ж в случайной среде 25
2.1 Математическая модель 25
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова для
характеристических функций 28
2.3 Метод начальных моментов для вычисления числовых вероятностных характеристик 29
2.3.1 Начальные моменты первого порядка 29
2.3.2 Начальные моменты второго порядка 32
2.3.3 Числовые характеристики для частного случая . . 33
2.4 Численный анализ влияния параметров на коэффициент корреляции 38
2.5 Асимптотический анализ 39
2.5.1 Асимптотический анализ в условиях предельно редких изменений среды 40
2.6 Асимптотический анализ при условии высокой интенсивности входящего потока и частом изменении состояний случайной среды 43
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47
ЛИТЕРАТУРА 48
В последние десятилетия IoT (интернет вещей) стремительно развивается. На сегодняшний день, несмотря на ограниченную функциональность, сегмент IoT становится всё более значительным и взаимосвязанным с другими технологиями. IoT охватывает как датчики, механические приводы, интеллектуальные счётчики, так и более подвинутые сетевые устройства с повышенной степенью сложности и неоднородности, такие как самоуправляемые автомобили с подключением к Интернету, портативные гаджеты, промышленные роботы и дроны, которые обмениваются информацией с облаком путём отправки заявок [12, 4, 8].
В реальных инфокоммуникационных системах есть ограничения на предоставляемый ресурс и многочисленные запросы на удовлетворение потребности в этом ресурсе [2],[3]. Основной задачей при исследовании указанных систем является сведение к минимуму расхода ресурсов, временных затрат на обслуживание поступивших требований (заявок), отказов в обслуживании, возникающих при функционировании. Исследуя вероятностные характеристики системы, можно оказывать влияние на ее состояние, изменяя значения параметров так, чтобы система функционировала наилучшим образом в соответствии с каким-либо критерием.
Для исследования реальных систем передачи данных, сетей сотовой связи, систем облачных вычислений, как правило, применяется математический аппарат теории массового обслуживания (ТМО) [18, 14], и включает описание входящего потока заявок и процесс работы обслуживающих устройств, а также особенности функционирования, например, тот факт, что параметры могут меняться как с течением времени [16, 7], так и под влиянием внешних факторов. СМО с переменными скоростями обслуживания и прибытия возникают естественным образом на практике, и поэтому можно найти много классических работ. Такие системы в теории массового обслуживания называют системами массового обслуживания, функционирующими в случайной среде [24, 27, 28]. Эти модели более точно отражают реальные процессы по сравнению с классическими системами, учитывая изменение внешней случайной среды во времени и реакцию системы на эти изменения.
В 1970-х годах особый интерес представляли управляемые системы массового обслуживания — системы с изменяемыми параметрами [19], где режим функционирования не является постоянным и меняется со временем. В управляемых системах изменение режима осуществляется субъектом управления, а в системах в случайной среде — стихийно под воздействием случайных процессов. Анализ таких систем особенно актуален для оценки ситуации и организации управления в современных информационно-вычислительных сетях и сетях связи. Они естественным образом возникают при решении задач в исследовании операций, теории надежности и теории массового обслуживания.
Одной из первых работ, посвященных исследованию систем массового обслуживания в условиях случайной среды, является публикация 1963 года авторов M. Eisen и M. Taineter [25], где рассматривалась однолинейная система при предположении, что внешняя среда может находиться только в двух состояниях. Далее в работах Naor и U. Yechiali [26] результаты были обобщены на случай произвольного конечного числа состояний внешней среды.
В 1981 году М. Ф. Ньютс предложил фундаментальный метод анализа систем массового обслуживания в условиях случайной марковской среды [30]. Он свел задачу определения характеристик системы к решению матричного уравнения, что позволило исследовать параметры систем с зависимостью от состояния цепи Маркова с конечным числом состояний.
Дальнейшее развитие получило расширение класса систем массового обслуживания в условиях изменяющейся внешней среды: менялись входные потоки, дисциплина обслуживания и свойства самой среды [23, 5]. В конце XX века ученые начали изучать более сложные системы с разнородной структурой: системы с ненадежными обслуживающими приборами, системы в случайной полумарковской среде и многофазные системы. Также широкое распространение получили исследования сетей массового обслуживания [9][10].
Бесконечнолинейные марковские СМО являются одной из самых распространенных моделей в теории очередей. Это обусловлено совместной ситуацией, когда входящий поток обладает свойством отсутствия памяти (пуассоновский поток), а неограниченное количество серверов позволяет клиентам вести себя независимо друг от друга, что позволяет построить марковский случайный процесс и исследовать характеристики в стационарном и нестационарном режимах функционирования. Несмотря на свою простоту, бесконечнолинейные системы часто используется для моделиро¬вания систем с моментальным обслуживанием, таких как спутниковые линии связи или длинные кабели связи, или для аппроксимации поведения многосерверных систем.
Задача исследования усложняется если существует корреляция между интервалами поступления заявок. Например, когда входящие потоки являются марковски модулированными [13]. Такая ситуация возникает, если система подвержена внешнему воздействию, например, изменение дневных скоростей. В этом случае актуально построение и исследование математических модели СМО в случайной среде, такие как предложенная в этой работе, чтобы проанализировать или предсказать их поведение.
В настоящей работе мы достигаем этого, вводя независимую случайную среду, которая модулирует параметры системы, то есть скорость прибытия и скорости серверов.
Целью работы является построение и анализ вероятностных характеристик бесконечнолинейных систем массового обслуживания, функционирующих в марковской случайной среде, которая влияет на параметры поступающих требований и обслуживания системы.
В соответствии с целью поставлены и решены задачи:
1) Построить математическую модель бесконечнолинейной системы массового обслуживания с параметрами, меняющимися в зависимости от состояния случайной среды.
2) Построить математическую модель бесконечнолинейной гетерогенной системы массового обслуживания, параметры которой определяются состоянием случайной среды и не меняются до конца обслуживания.
3) С помощью методов начальных моментов найти числовые вероятностные характеристики числа занятых приборов.
4) Исследовать влияние параметров системы на значения коэффициента корреляции в гетерогенной системе массового обслуживания.
5) Применяя метод асимптотического анализа при различных предельных условиях, построить аппроксимацию распределения вероятностей числа занятых приборов.
Для исследования рассмотренных моделей СМО, функционирующих в случайной среде, используется аппарат теории марковских случайных процессов и наиболее известные методы исследования Марковских СМО, такие как метод вложенных цепей Маркова [6, 11], метод дополнительной переменной [1]. Для вычисления числовых характеристик применяется аппарат характеристических функций. В том случае, когда точное решение найти затруднительно, применяется метод асимптотического анализа [11, 13]. Для сравнения эмпирического результата с численным, была разработана имитационная модель.
Работа состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 51 страница.
В реальных инфокоммуникационных системах есть ограничения на предоставляемый ресурс и многочисленные запросы на удовлетворение потребности в этом ресурсе [2],[3]. Основной задачей при исследовании указанных систем является сведение к минимуму расхода ресурсов, временных затрат на обслуживание поступивших требований (заявок), отказов в обслуживании, возникающих при функционировании. Исследуя вероятностные характеристики системы, можно оказывать влияние на ее состояние, изменяя значения параметров так, чтобы система функционировала наилучшим образом в соответствии с каким-либо критерием.
Для исследования реальных систем передачи данных, сетей сотовой связи, систем облачных вычислений, как правило, применяется математический аппарат теории массового обслуживания (ТМО) [18, 14], и включает описание входящего потока заявок и процесс работы обслуживающих устройств, а также особенности функционирования, например, тот факт, что параметры могут меняться как с течением времени [16, 7], так и под влиянием внешних факторов. СМО с переменными скоростями обслуживания и прибытия возникают естественным образом на практике, и поэтому можно найти много классических работ. Такие системы в теории массового обслуживания называют системами массового обслуживания, функционирующими в случайной среде [24, 27, 28]. Эти модели более точно отражают реальные процессы по сравнению с классическими системами, учитывая изменение внешней случайной среды во времени и реакцию системы на эти изменения.
В 1970-х годах особый интерес представляли управляемые системы массового обслуживания — системы с изменяемыми параметрами [19], где режим функционирования не является постоянным и меняется со временем. В управляемых системах изменение режима осуществляется субъектом управления, а в системах в случайной среде — стихийно под воздействием случайных процессов. Анализ таких систем особенно актуален для оценки ситуации и организации управления в современных информационно-вычислительных сетях и сетях связи. Они естественным образом возникают при решении задач в исследовании операций, теории надежности и теории массового обслуживания.
Одной из первых работ, посвященных исследованию систем массового обслуживания в условиях случайной среды, является публикация 1963 года авторов M. Eisen и M. Taineter [25], где рассматривалась однолинейная система при предположении, что внешняя среда может находиться только в двух состояниях. Далее в работах Naor и U. Yechiali [26] результаты были обобщены на случай произвольного конечного числа состояний внешней среды.
В 1981 году М. Ф. Ньютс предложил фундаментальный метод анализа систем массового обслуживания в условиях случайной марковской среды [30]. Он свел задачу определения характеристик системы к решению матричного уравнения, что позволило исследовать параметры систем с зависимостью от состояния цепи Маркова с конечным числом состояний.
Дальнейшее развитие получило расширение класса систем массового обслуживания в условиях изменяющейся внешней среды: менялись входные потоки, дисциплина обслуживания и свойства самой среды [23, 5]. В конце XX века ученые начали изучать более сложные системы с разнородной структурой: системы с ненадежными обслуживающими приборами, системы в случайной полумарковской среде и многофазные системы. Также широкое распространение получили исследования сетей массового обслуживания [9][10].
Бесконечнолинейные марковские СМО являются одной из самых распространенных моделей в теории очередей. Это обусловлено совместной ситуацией, когда входящий поток обладает свойством отсутствия памяти (пуассоновский поток), а неограниченное количество серверов позволяет клиентам вести себя независимо друг от друга, что позволяет построить марковский случайный процесс и исследовать характеристики в стационарном и нестационарном режимах функционирования. Несмотря на свою простоту, бесконечнолинейные системы часто используется для моделиро¬вания систем с моментальным обслуживанием, таких как спутниковые линии связи или длинные кабели связи, или для аппроксимации поведения многосерверных систем.
Задача исследования усложняется если существует корреляция между интервалами поступления заявок. Например, когда входящие потоки являются марковски модулированными [13]. Такая ситуация возникает, если система подвержена внешнему воздействию, например, изменение дневных скоростей. В этом случае актуально построение и исследование математических модели СМО в случайной среде, такие как предложенная в этой работе, чтобы проанализировать или предсказать их поведение.
В настоящей работе мы достигаем этого, вводя независимую случайную среду, которая модулирует параметры системы, то есть скорость прибытия и скорости серверов.
Целью работы является построение и анализ вероятностных характеристик бесконечнолинейных систем массового обслуживания, функционирующих в марковской случайной среде, которая влияет на параметры поступающих требований и обслуживания системы.
В соответствии с целью поставлены и решены задачи:
1) Построить математическую модель бесконечнолинейной системы массового обслуживания с параметрами, меняющимися в зависимости от состояния случайной среды.
2) Построить математическую модель бесконечнолинейной гетерогенной системы массового обслуживания, параметры которой определяются состоянием случайной среды и не меняются до конца обслуживания.
3) С помощью методов начальных моментов найти числовые вероятностные характеристики числа занятых приборов.
4) Исследовать влияние параметров системы на значения коэффициента корреляции в гетерогенной системе массового обслуживания.
5) Применяя метод асимптотического анализа при различных предельных условиях, построить аппроксимацию распределения вероятностей числа занятых приборов.
Для исследования рассмотренных моделей СМО, функционирующих в случайной среде, используется аппарат теории марковских случайных процессов и наиболее известные методы исследования Марковских СМО, такие как метод вложенных цепей Маркова [6, 11], метод дополнительной переменной [1]. Для вычисления числовых характеристик применяется аппарат характеристических функций. В том случае, когда точное решение найти затруднительно, применяется метод асимптотического анализа [11, 13]. Для сравнения эмпирического результата с численным, была разработана имитационная модель.
Работа состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 51 страница.
В данной работе были построены и исследованы математические модели бесконечнолинейных систем массового обслуживания, особенностью которых является марковская случайная среда, которая влияет на параметры поступающих требований и обслуживания системы.
Для достижения поставленной цели были последовательно поставлены и решены несколько следующих задач:
а) построить математическую модель бесконечно линейной системы массового обслуживания с параметрами, меняющимися в зависимости от состояния случайной среды;
б) Построить математическую модель бесконечно линейной гетерогенной системы массового обслуживания, параметры которой определяются состоянием случайной среды и не меняются до конца обслуживания;
в) с помощью методов моментов найти численные вероятностные характеристики числа занятых приборов;
г) исследовать влияние параметра системы на значения коэффициента корреляции в гетерогенной системе массового обслуживания;
д) применяя метод асимптотического анализа при различных предельных условиях построить аппроксимацию распределения вероятностей числа занятых приборов.
По результатам работы был сделаны доклады: —"Асимптотический анализ гетерогенной бесконечнолинейной СМО с параметрами, зависящими от состояния случайной среды на Международной конференции "Ляпуновские чтения Иркутск, 2-6 декабря 2024 года,
— "Система массового обслуживания с неограниченным числом устройств в случайных средах на XI-й Международной молодёжной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем Томск, 24-27 мая 2024 года.
А также подготовлены публикации (РИНЦ) [20, 21].
Для достижения поставленной цели были последовательно поставлены и решены несколько следующих задач:
а) построить математическую модель бесконечно линейной системы массового обслуживания с параметрами, меняющимися в зависимости от состояния случайной среды;
б) Построить математическую модель бесконечно линейной гетерогенной системы массового обслуживания, параметры которой определяются состоянием случайной среды и не меняются до конца обслуживания;
в) с помощью методов моментов найти численные вероятностные характеристики числа занятых приборов;
г) исследовать влияние параметра системы на значения коэффициента корреляции в гетерогенной системе массового обслуживания;
д) применяя метод асимптотического анализа при различных предельных условиях построить аппроксимацию распределения вероятностей числа занятых приборов.
По результатам работы был сделаны доклады: —"Асимптотический анализ гетерогенной бесконечнолинейной СМО с параметрами, зависящими от состояния случайной среды на Международной конференции "Ляпуновские чтения Иркутск, 2-6 декабря 2024 года,
— "Система массового обслуживания с неограниченным числом устройств в случайных средах на XI-й Международной молодёжной конференции "Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем Томск, 24-27 мая 2024 года.
А также подготовлены публикации (РИНЦ) [20, 21].