Введение 3
1 Основные определения
1.1 Область с симметрией переноса 5
1.2 Отображение с симметрией переноса 6
1.3 Уравнение типа Левнера 8
2 Основные результаты
2.1 Интегрирование уравнения типа Левнера с управляющей
функцией Л(т) = цт 9
2.2 Геометрия семейства функций 11
2.3 Принадлежность классу Х2п 13
Заключение 15
Список использованной литературы 16
В 1851 году Риманом Бернхардом в его докторской диссертации была сформулирована теорема, которая положила начало геометрической теории функций.
Конформные отображения являются одним из основных математических методов решения задач механики сплошной среды, гидро- и аэродинамики, теории упругости и многих разделов физики.
На сегодняшний день имеется множество различных методов решения экстремальных задач. Одним из основных методов является параметрический метод. Используя теорему Каратеодори о сходимости семейства плоских областей к ядру, в 1923 году Лёвнер вывел уравнение для семейства отображений. Уравнение Лёвнера легло в основу одного из главных методов исследования в геометрической теории функций. Изначально этот метод использовался с целью получения некоторых оценок. Дальнейшая разработка метода И.Е. Базилевичем, И.А. Александровым [1],[2] П.П. Куфаревым [6], В.И. Поповым, В.И. Гутлянским привела к более глубоким результатам. П.П. Куфаревым [7] было записано уравнение для верхней полуплоскости.
Также нужно отметить, что Томская школа математиков внесла большой вклад в развитие существующих методов решения экстремальных задач, в создание новых объединенных методов и решение задач в геометрической теории функции. П.П Куфарев создал вариационно-параметрический метод. Нахождение случаев интегрируемости уравнений типа Левнера являлось и продолжает быть трудной и важной задачей в геометрической теории функций. Решению этой задачи посвящены работы Садритдиновой Г.Д.[9],[10].
Исследования развивались не только в направлении создания новых методов и совершенствования существующих, но также в направлении приложения их к различным новым классам функций. Так в последние
двадцать лет активно исследуются классы функций из верхней полуплоскости на счетноугольники с определенной симметрией.
В работе Л.С.Копаневой [3] было получено уравнение типа Левнера для отображений с симметрией переноса. Уравнение было проинтегрировано с тремя разными функциями, одна из которых Л(т) = т. Решение уравнения было найдено неявно. Устремив т ^ +^ было получено отображение из
класса Х2п:
f(z) = lim (^(т) — IT) = —=e l*z — ln(1 + sinz)] т^+от y2
В данной работе проведено обобщение полученного результата.
Ранее было получено дифференциальное уравнение типа Лёвнера для отображений с симметрий переноса вдоль вещественной оси. В данной работе
• Получено решение уравнения типа Лёвнера с управляющей функцией Л(т) = цт, це^;
• Получено семейство функций, отображающих верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезами по параллельным лучам, в результате предельного перехода при т ^ +^ решения дифференциального уравнения;
• Доказано, что полученное семейство функций, принадлежит классу Х2п.
