КОРОТАЦИОННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЯУМАННА И ГРИНА-НАХДИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

Введение 2
1. Система координат. Преобразование координат 5
2. Полиадные произведения векторов базиса. Определение тензора 8
3. Некоторые сведения из кинематики сплошных сред 10
3.1. Лагранжевы и эйлеровы координаты. Закон движения 10
3. 2. Локальные базисы в X и ХО 11
3.3. Градиент деформации 12
3.4. Полярное разложение 13
3.5. Геометрическая картина преобразования малой окрестности точки сплошной среды 14
4. Субстанциональная производная по времени от тензора напряжений 17
5. Коротационные производные 23
6. Коротационные производные для изотропных и анизотропных сред 29
Выводы 36
Литература 37
Купить

С развитием вычислительной техники появилась возможность решения целого круга задач с помощью математического моделирования и применения к этим моделям численных методов. Заметную часть составляют задачи моделирования динамического нагружения деформируемых твердых тел в трехмерной постановке - задачи удара, взрывных нагружений, разрушения конструкций. В таких задачах моделируются процессы изменения во времени полей напряжений и деформаций в твердых телах. Это достигается с помощью записи уравнений, отражающих законы сохранения массы, энергии, импульса и момента импульса, с использованием скоростей изменения напряжений и деформаций во времени. То есть в процессе решения таких задач определяются скорости изменения скалярных и тензорных величин во времени. Сложность в том, что непосредственное использование в уравнениях скоростей изменения компонент напряжений приводит к неверным результатам, обусловленным зависимостью параметров, определяющих состояние деформируемого твёрдого тела, от движения тела как жёсткого целого. Перемещение в пространстве твердого тела как жесткого целого не приводит к изменению напряженного состояния, при этом все компоненты тензора напряжений изменяются. В связи с этим применяются относительные скорости изменения тензоров напряжений, позволяющих исключить изменения этих тензоров, вызванных движением тела как жёсткого целого. Способ избавления от этого "дефекта" в расчётах - применение коротационных производных.
Разработке теоретических подходов к использованию различных видов коротационных производных в механике деформируемого твердого тела был посвящен целый ряд работ в 1970-1980 годы. Это было связано с переходом от решения задач в одномерных постановках к решению в двумерных постановках и развитием разностных схем численных методов [1-5].
Одним из нерешённых вопросов построения геометрически нелинейных определяющих соотношений, ориентированных на описание процессов неупругого деформирования при больших градиентах перемещений, является разложение движения на квазитвёрдое и деформационное. В большинстве работ по данной тематике этот вопрос сужен до проблемы выбора независящей от системы отсчёта производной. Чаще всего применяется коротационная производная Яуманна, хотя отсутствует обоснование её применения в геометрически нелинейных теориях [6] и есть демонстрация того, что она некорректна в частном случае при реализации простого сдвига [4].
Замена материальной производной (по времени) тензора напряжений его коротационной производной позволяет построить определяющие соотношения независимо от выбора системы отсчёта (принцип материальной индифферентности). Однако выбор коротационной производной может быть осуществлён множеством различных способов. И самих коротационных производных существует довольно-таки много. Произвольный выбор коротационной производной от меры напряжений приводит к нежелательным эффектам для некоторых частных задач: осцилляциям напряжений при монотонной деформации простого сдвига (например, для производной Яуманна), "незамкнутости" траекторий напряжений и отличию от нуля работы напряжений на замкнутой траектории деформаций [7].
В данной работе рассматриваются тензорные меры скоростей изменения напряжений в изотропном и анизотропном твёрдых телах, испытывающих большие деформации. Поскольку возможность численного моделирования напряженно- деформированного состояния анизотропных тел в физически и геометрически нелинейных задачах в трехмерной постановке возникла только в последние годы, возникла необходимость исследования применения коротационных производных в таких задачах. Основное отличие коротационных производных в анизотропных твёрдых телах от изотропных связано с тем, что в анизотропных твёрдых телах шаровые части тензора напряжений не соответствуют шаровым частям тензора деформаций. Это является следствием того, что в анизотропных твёрдых телах невозможно непосредственно разложить энергию упругой деформации на энергию изменения объёма и энергию изменения формы. Это можно сделать только в особых случаях - при условии равномерного напряженного или равномерного деформированного состояний. В работе разобраны коротационные производные Яуманна и Грина-Нахди, проведён их сравнительный анализ на примере частного случая: простого сдвига и на их примере показан объем необходимых вычислений для нахождения коротационных производных для изотропных твердых тел. Получены выражения коротационных производных Яуманна и Грина-Нахди для анизотропных (ортотропных) твердых тел. Проведена оценка величин дополнительных слагаемых в коротационных производных для анизотропных (ортотропных) твердых тел. Показаны их отличия в части применимости в численном методе конечных элементов.
Обе части работы докладывались и обсуждались на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 24-30 августа, 2015г. Казань, на “XVII Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям” 30 октября — 3 ноября 2016 г. Новосибирск, на Международной конференции «Перспективные материалы с иерархической структурой для новых технологий и надежных конструкций», 19-23 сентября 2016г. Томск.
Результаты опубликованы в материалах XI Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, тезисах 2 конференций и статье в зарегистрированном научном электронном издании.

Купить