ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОНЯТИЯ КВАНДЛ 5
1.1 Понятие квандла 5
1.2 Квандлы и инварианты 1 -узлов 8
1.3 Квандлы и инварианты 2-узлов 14
1.4 Графовые квандлы 19
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КВАНДЛОВ 22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 28
Теория узлов и зацеплений появилась относительно недавно, по меркам развития математики как науки. Впервые, о теории узлов заговорил физик, с именем которого связывают множество величайших открытий, а именно, Дж.Максвелл. Однако первые важные результаты в развитии теории узлов принадлежат К.Гауссу, который дал понятию узла математическую интерпретацию.
Одной из важнейших алгебраических структур в теории узлов, является структура дистрибутивного группоида или квандла. Примечательность данной структуры состоит в том, что она позволяет находить различные инварианты узлов. В период бурного развития теории узлов, одновременно, развивалась и теория квандлов, что привело к нахождению различных практических применений этой структуре. В частности, квандлы были использованы при исследовании решений уравнения Янга - Бакстера. Также квандлы используются в теории графов, топологии и т.д, что делает данную тему всё более актуальной для исследования.
Целью выпускной квалификационной работы является рассмотрение квандлов в теории узлов, а также соответствующих упражнений, связанных с ними.
Объектом выпускной квалификационной работы является теория узлов.
Предметом выпускной квалификационной работы использование квандлов в теории узлов.
Для достижения поставленной цели нужно выполнить следующие задачи:
1) Дать определение квандла, выделить его свойства;
2) Рассмотреть принцип построения квандла;
3) Доказать ряд утверждений, связанных в квандлами в теории узлов;
4) Рассмотреть практическое применение квандлов
В представленной работе было рассмотрено понятие квандла, выделены аксиомы, которые формируют это понятие, определены инварианты 1-узлов и 2-узлов, а также введено понятие статсуммы, которое встречается при описании теории квандлов.
Также теория квандлов применима при доказательстве множества теорем, связанных с теорией узлов, среди которых можно отметить теоремы о движениях Рейдемейстера, движениях Розмана и т.д.
В практической части работы были приведены доказательства, связанные с различными квандлами, которые встречаются в исследованиях узлов, и не только узлов.
Поставленные задачи были выполнены, а конечная цель была достигнута. Данная область науки имеет высокий потенциал к развитию, так как теория узлов ещё не изучена до конца, следовательно, представленная работа может быть использована как пособие для ознакомления с понятием квандла в теории узлов.
