Введение 2
1. Определение и нахождения сферического модуля 3
1.1 Определение сферического модуля семейства кривых 3
1.2 Свойства сферического модуля 5
1.3 Нахождение сферического модуля некоторых семейств кривых 8
2. Отображение с s-усредненной характеристикой 10
2.1 Определение отображения с s-усредненной характеристикой 10
2.2 Примеры отображений с s- усредненной характеристикой 13
2.3 Теоремы об оценке сверху сферического модуля 16
3. О геометрическом определении 17
4. Аналог леммы Мори для отображений с s- усреднённой характеристикой 18
Заключение 23
Библиографический список 24
В последнее время, начиная с последнего десятилетия XX века интенсивно изучаются различные отображения с конечным искажением [1]-[4], [5]-[10], [12] и др., естественным образом обобщающие конформные, так как класс таких отображений беден в пространстве: состоит из сдвигов, поворотов, инверсий и их композиций, квазиконформные отображения, отображения с ограниченным искажением (1969 Ю.Г.Решетняк) квазирегулярные отображения (1970 J. Vaisala, О. Мартио. S. Rickman). Во всех этих обобщениях модульной технике, отводится ключевая роль. Имея это в виду, профессор О. Мартио ввел класс ^-гомеоморфизмов, основы её были заложены в работах [27], [28], [29], и далее класс ^-гомеоморфизмов был распространен на отображения с ветвлением, так называемые Q- отображения. Наша задача исследовать аналитические и геометрические свойства негомеоморфных пространственных отображений с s - усредненной характеристикой. Основной целью теории Q-гомеоморфизмов является изучение взаимосвязей свойств отображения f со свойствами мажоранты Q(x).
В настоящей выпускной квалификационной работе мы рассматриваем аналитическое определение отображений с л-усредненной характеристикой: (см. например [30], [31]) исследование аналитических и геометрических
свойств.
Выпускная квалификационная работа посвящена изучению свойств негомеоморфных пространственных отображений с л-усредненной характеристикой. Свойствам, вычислению сферического модуля семейства кривых, а также теоремам искажения при отображениях с л-усредненной характеристикой. Пусть область D c7", n > 3, f: D ^R” и f e^loc( D). Тогда почти везде в D определены величины - характеристики отображения f [20],[21],[25].
Необходимо отметить здесь, что нахождение экстремальных метрик для вычисления модулей семейств кривых даже на плоскости нередко связано с трудностями. Доказано, что экстремальные метрики находятся из решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому для отыскания экстремальной метрики не существует универсального метода: применяется опыт и интуиция. До сих пор известны мало пространственных задач, для которых найдены модули.
Отметим, что существенный вклад в развитию теории модулей внесли В.А. Зорич, И.П. Митюк , В.М. Миклюков, Г. Д. Суворов, А.В. Сычев, Б. Фюгледе, Дж. Дженкинс, Ф. Геринг, Ю.Г.Решетняк, O.Martio, S. Rickman, Ju. Vaisala и др.
V Класс отображений с s-усредненной характеристикой обобщает класс отображений с искажением, ограниченным в среднем на случай неограниченной области D с'хп.
V Введено аналитическое определение отображений с
(s, s ’)-усредненной характеристикой.
V Описан метод модулей - получены: оценка модуля семейств кривых и теорему об оценке сверху модуля семейств кривых для отображений с (s, s’) - усредненной характеристикой, что позволяет доказать эквивалентность аналитического и геометрического определений.
V Результаты выпускной квалификационной работы опубликованы в следующих работах: [15], [22], [26], [37], [39].
S По результатам выпускной квалификационной работы сделаны выступления на следующих международным конференциям: Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2016.
V Тринадцатая международная Казанская летняя научная школа.
V VIII Петрозаводской международной конференции
V Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2018
V XXV междунар. научн.-техн. конф. Севастополь - 2017 г
