Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Определители Ганкеля 5
2 Теоремы анализа 21
3 Классификация сечений и ее применение 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 35
Линейно упорядоченные поля (л. у. поля) являются обобщением поля вещественных чисел. Их изучение восходят к работам Дедекинда (1872), Артина и Шрайера (1925), Хана (1907), Капланского (1942) и др. Л. у. поле (K, +, •, 0, 1, ^) это алгебраическая структура с двумя бинарными операциями, удовлетворяющими аксиомам поля и с отношением линейного порядка, согласованным с операциями. Отношение линейного порядка в поле K можно задать, указав множество неотрицательных элементов (положительный конус), то есть такое непустое подмножество P поля K, для которого выполняется: P + P С P, P • P С P, P П (-P) = {0}, P U (-P) = K [8, с. 272; 9; 10]. Известно, что каждое л. у. поле вкладывается с сохранением порядка в некоторое поле формальных степенных рядов [4; 15]. Таким образом, изучение и классификация л. у. полей сводится во многом к классификации полей формальных степенных рядов. Вопрос классификации затрагивается в работах многих авторов и до сих пор изучен не полностью (см., например, [6]). Примерами полей формальных степенных рядов являются такие классические поля как поля рядов Лорана, поля рядов Пюизё, поля рядов Леви-Чивиты, известных еще Ньютону [4; 5]. Для исследования внутренней структуры поля бывает полезно знать, представим ли данный формальный ряд некоторой дробью (отношением многочленов с коэффициентами из данного поля). Этот классический вопрос для алгебраической структуры решается с помощью изучения соотношений между коэффициентами ряда, их линейной зависимости в некотором смысле, а так же с помощью определителей Ганкеля [3; 8]. В первой части выпускной квалификационной работы доказаны новые соотношения между определителями Ганкеля и детально разобраны способы доказательства представления формального степенного ряда рациональной дробью. Помимо этого, самостоятельно сформулирован и доказан несколькими способами критерий представления формального ряда дробью через ряд со сдвигом коэффициентов. В данной части работы не вводится еще отношение порядка, а используется только структура поля.
Наличие алгебраической структуры и согласованного отношения порядка в л. у. полях позволяет вводить понятие предела, непрерывности, дифференцируемости, строить на упорядоченных полях анализ. Одним из методов изучения л. у. полей является обобщение определений и теорем математического анализа, справедливых для поля действительных чисел. Основываясь на определениях [2], во второй части работы мы убеждаемся в полной идентичности доказательств для л. у. полей некоторых известных теорем анализа, в доказательстве которых не используются архимедовость (л. у. поле K - архимедово, если Ve G K+ 3n G N 1/n < е) и свойство полноты (например, в смысле Делекинда: каждое непустое ограниченное сверху подмножество л. у. поля имеет в этом поле супремум). Разбираем, почему теорема о промежуточном значении равносильна вещественной замкнутости поля [8; 9; 11] и, следовательно, не для всех л. у. полей она верна, и рассматриваем пример л. у. поля формальных степенных рядов, для которого она не верна.
В третьей части выпускной квалификационной работы рассматриваем метод изучения л. у. полей - классификацию сечений. Идеи теории сечений восходят к работам Дедекинда и продолжают развиваться [4; 6; 7; 13; 14]. Пусть (K, 0, 1, +, •, ^) линейно упорядоченное поле, пара непустых множеств A, B С K называется сечением если A < B и A U B = K. Дедекинд рассматривал сечение в поле рациональных чисел как некоторое число, из множества сечений образуя новое поле - поле действительных чисел. Современный подход к изучению упорядоченных полей состоит в том, что для всякого линейно упорядоченного поля есть более широкое л. у. поле (расширение) в котором данное поле содержится. Элементы расширения л. у. поля порождают сечения в исходном поле. Таким образом, есть два взгляда на сечения л. у. поля - изнутри и снаружи: заполняя сечения исходного поля можно получить новое поле - расширение, а производя сечения элементами расширения можно изучать свойства исходного поля. При исследовании линейно упорядоченных полей используют различные определения сечений (см., например, [6]). С 1980 г. в Томском государственном университете проводились исследования линейно упорядоченных полей с помощью теории сечений, разработанной Г. Г. Пестовым [13]. Мы рассматриваем классификации сечений на фундаментальные (Скотт), собственные (Дедекинд), алгебраические (Шелах, Пестов), симметричные (Пестов). В третьей части выпускной квалификационной работы описываются и классифицируются сечения в поле частных кольца многочленов от одной переменной над полем рациональных чисел - это наименьшее неархимедово поле, не являющееся вещественно замкнутым, содержащееся в каждом л. у. поле формальных степенных рядов. При изучении сечений в поле частных, возникает вопрос принадлежности формально степенного ряда полю частных (если ряд не принадлежит полю частных, то он производит в этом поле сечение), который решается с помощью результатов, полученных в первой части для определителей Ганкеля. Итог применения теории сечений описан в Таблице 1. Полученный в первой части работы критерий представления ряда дробью может применяться в дальнейшем для исследования сечений в полях обобщенных формальных степенных рядов.
В выпускной квалификационной работе выполнены следующие задачи:
1. Доказаны новые соотношения между определителями Ганкеля (Теорема 1) и детально разобраны способы доказательства представления формального степенного ряда рациональной дробью в том числе с помощью определителей Ганкеля.
2. Сформулирован и доказан несколькими способами критерий представления формального ряда дробью через ряд со сдвигом коэффициентов (Лемма 7, Лемма 8, Теорема 2). Применение критерия возможно в дальнейшем для исследования сечений в полях обобщенных формальных степенных рядов.
3. Проведен анализ возможности обобщения некоторых определений и теорем математического анализ для линейно упорядоченных полей. Изучена равносильность условий вещественной замкнутости полей, приведен пример проверки отсутствия вещественной замкнутости в поле формальных степенных рядов.
4. Изучена классификация сечений линейно упорядоченных полей (Дедекинд, Ше- лах, Скотт, Пестов). С помощью этой классификации исследованы сечения поля частных кольца многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами (Таблица 1).
