Электронные возбуждения в монослое графена в присутствии внешнего электромагнитного поля хорошо описывается 2 + 1 квантованным полем Дирака. В этой модели проводится рассмотрение квазичастиц, которые являются киральными дираковскими фермионами в 2 + 1 измерениях. Возбуждения дираковских электронов в графене создают интересную реализацию Квантовой электродинамики (КЭД) в терминах теории твёрдого тела. Транспорт в этой системе можно использовать для исследования таких фундаментальных понятий КЭД, как хиральная динамика, сосуществование частиц и дырок и пр. Графен значительно изменяет свои электронные свойства в присутствии примесей. К примеру, заряженные примеси, такие как кулоновские центры, оказывают большое влияние на подвижность носителей заряда. Изучение свойств графена при наличии взаимодействия носителей заряда с такими центрами необходимо для понимания электронного транспорта в присутствии примесей.
При Z > 119 существует проблема в решении уравнения Дирака проявляющаяся в том, что оператор Дирака с кулоновским потенциалом не самосопряжён. В ранних работах по этой теме данную проблему решали при учёте финитности радиуса ядра. Мы же используем математически более строгую теорию самосопряжённых (далее - с.с.) расширений операторов. Эта теория говорит нам о том, что правильное описание возбуждений (квазичастиц) в окрестности точечной кулоновской примеси требует определения дираковского гамильтониана как самосопряжённого оператора в соответствующем гильбертовом пространстве. Эта проблема становится трудноразрешимой только для ядер с Z > 119, которые трудно получить в лабораторных условиях. Однако, было показано, что для кулоновских примесей в графене этот порог значительно меньше из-за свойств дираковских квазичастиц.
Релятивистская квантовая механика предсказывает, что когда заряд сверхтяжелого атомного ядра превышает определенный порог, возникающее в результате сильное кулоновское поле вызывает необычное состояние атомного коллапса. Это состояние демонстрирует электронную компоненту волновой функции, которая падает к ядру, а также позитронную компоненту, уходящую в бесконечность. В графене, где носители заряда ведут себя как безмассовые релятивистские частицы, было предсказано, что сильно заряженные примеси должны проявлять резонансы, соответствующие этим состояниям атомного коллапса. Коллапс имеет место там, где угловой момент электрона достаточно мал и благодаря этому, все лёгкие ядра с зарядом Z < 137 не подвержены этому эффекту. Несмотря на то, что безмассовые частицы не могут образовывать связанные состояния, бесконечное семейство виртуальных квазисвязанных состояний возникает резко, когда напряжённость кулоновского потенциала д превышает некоторое критическое значение. В графене, напряжённость эффективного кулоновского потенциала определяется выражением д = Ze2iZig = арe~1Z, и потому критическое значение д может быть достигнуто уже для заряда примеси Z « 1. С такими зарядами гораздо проще проводить эксперименты, чем Z > 137 в тяжёлых ядрах. Нашей задачей станет математически корректное решение данной задачи с использованием теории с.с. расширений, а также рассмотрения различных подходов к нахождению спектра квазисвязанных состояний.
Работа построена следующим образом. В разделе 1 мы описываем построение уравнения Дирака для графена и некоторые его особенности. В качестве справочников мы используем [1], [2] и [3]. В разделе 2 приводится решение двумерной кулоновской задачи для безмассовых дираковскийх квазичастиц в графене. Поставлена задача и описана вся процедура построения самосопряжённых парциальных радиальных и полных гамильтонианов в сверхкритическом режиме. Мы следуем математической процедуре, описанной в [4] он основываемся на уже проведённых работах для безмассового и допи- рованного графена [5], [6]. В разделе 3 вычисляется фаза рассеяния в графене и на её основе строятся квазисвязанные состояния. Также рассматривается построение квазисвязанных состояний при помощи так называемой производной спектральной функции, находя её точки максимума и комплексные значения энергии в которых она обращается в бесконечность. В этой части мы основываемся на изложении ранних работ по теме [7], [8] и [9]. Для вычислений мы используем некоторую информацию по специальным функциям из |10|. [11]. Основную информацию об атомном коллапсе мы брали из классических учебников [12], [13] и [14], а также работ [15] и [16].
Рассмотрено решение спектральной задачи для электронных возбуждений в графене в присутствии точечных кулоновских примесей в сверхкритическом режиме. Построены с.с. гамильтонианы, которые параметризуются параметрами расширения. Вычислены спектры и нормированные собственные функции для сверхкритической области (29). Полученные собственные функции используются для вычисления локальной плотности состояний, которая может быть непосредственно измерена в лаборатории с помощью метода сканирующей туннельной микроскопии [3]. Резонансы в локальной плотности состояний можно ассоциировать с рождением позитронов в релятивистской квантовой механике [14], [15].
Для сверхкритической области найдены фаза рассеяния в графене (37) и виртуальные квазидискретные спектры электронных возбуждений (41), (44) и (58) полученные из разных соображений. Эти результаты можно использовать для экспериментальной проверки эффекта атомного коллапса в графене [17], [18].
Наши результаты также могут помочь в решении проблемы рождения электрон- позитронных пар из вакуума во внешнем поле, то есть для проверки так называемого эффекта Швингера [19]. Аналог этого эффекта для пары электрон-дырка в графене был подтверждён экспериментально [20].
Отметим, что в работе [9] рассматривалась аналогичная задача, но в сочетании с полем Ааронова - Бома, но не были приняты во внимание некоторые важные особенности данной задачи для безмассовых дираковских квазичастиц, из-за чего полученные автором результаты лишь частично согласуются с нашими вычислениями.
