ИССЛЕДОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНОЙ СМО С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ И ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
|
Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Математическая модель страховой компании в виде СМО с интенсивностью, зависящей от числа заявок в системе 9
'k(i) = a+bi 9
1.2 Исследования числа занятых приборов в СМО M(i)|M|ro 10
1.3 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.4 Метод производящих функций 13
1.5 Математическое ожидание и дисперсия числа заявок в системе 18
1.6 Вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме 20
1.7 Численный анализ распределения вероятностей числа заявок в системе 22
1.8 Выводы 27
2 Исследование числа повторных обращений в рассматриваемой системе 29
2.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 30
2.2 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P(i, n, t) 31
2.3 Производящая функция для распределения вероятностей числа повторных
обращений P(n, t) 38
2.4 Математическое ожидание числа повторных обращений в исследуемой системе 39
3 Исследование процесса изменения капитала страховой компании в СМО вида ^|^| да
с обратной связью 41
3.1 Математическая модель и постановка задачи 41
3.2 Производящая функция для трехмерного распределения вероятностей P(i,/,n,tj 44
3.3 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P (/, n, tj 46
3.4 Математическое ожидание величины капитала компании 47
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Математическая модель страховой компании в виде СМО с интенсивностью, зависящей от числа заявок в системе 9
'k(i) = a+bi 9
1.2 Исследования числа занятых приборов в СМО M(i)|M|ro 10
1.3 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.4 Метод производящих функций 13
1.5 Математическое ожидание и дисперсия числа заявок в системе 18
1.6 Вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме 20
1.7 Численный анализ распределения вероятностей числа заявок в системе 22
1.8 Выводы 27
2 Исследование числа повторных обращений в рассматриваемой системе 29
2.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 30
2.2 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P(i, n, t) 31
2.3 Производящая функция для распределения вероятностей числа повторных
обращений P(n, t) 38
2.4 Математическое ожидание числа повторных обращений в исследуемой системе 39
3 Исследование процесса изменения капитала страховой компании в СМО вида ^|^| да
с обратной связью 41
3.1 Математическая модель и постановка задачи 41
3.2 Производящая функция для трехмерного распределения вероятностей P(i,/,n,tj 44
3.3 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P (/, n, tj 46
3.4 Математическое ожидание величины капитала компании 47
3.5 Численные расчеты 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 54
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Математическая модель страховой компании в виде СМО с интенсивностью, зависящей от числа заявок в системе 9
'k(i) = a+bi 9
1.2 Исследования числа занятых приборов в СМО M(i)|M|ro 10
1.3 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.4 Метод производящих функций 13
1.5 Математическое ожидание и дисперсия числа заявок в системе 18
1.6 Вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме 20
1.7 Численный анализ распределения вероятностей числа заявок в системе 22
1.8 Выводы 27
2 Исследование числа повторных обращений в рассматриваемой системе 29
2.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 30
2.2 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P(i, n, t) 31
2.3 Производящая функция для распределения вероятностей числа повторных
обращений P(n, t) 38
2.4 Математическое ожидание числа повторных обращений в исследуемой системе 39
3 Исследование процесса изменения капитала страховой компании в СМО вида ^|^| да
с обратной связью 41
3.1 Математическая модель и постановка задачи 41
3.2 Производящая функция для трехмерного распределения вероятностей P(i,/,n,tj 44
3.3 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P (/, n, tj 46
3.4 Математическое ожидание величины капитала компании 47
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Математическая модель страховой компании в виде СМО с интенсивностью, зависящей от числа заявок в системе 9
'k(i) = a+bi 9
1.2 Исследования числа занятых приборов в СМО M(i)|M|ro 10
1.3 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.4 Метод производящих функций 13
1.5 Математическое ожидание и дисперсия числа заявок в системе 18
1.6 Вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме 20
1.7 Численный анализ распределения вероятностей числа заявок в системе 22
1.8 Выводы 27
2 Исследование числа повторных обращений в рассматриваемой системе 29
2.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 30
2.2 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P(i, n, t) 31
2.3 Производящая функция для распределения вероятностей числа повторных
обращений P(n, t) 38
2.4 Математическое ожидание числа повторных обращений в исследуемой системе 39
3 Исследование процесса изменения капитала страховой компании в СМО вида ^|^| да
с обратной связью 41
3.1 Математическая модель и постановка задачи 41
3.2 Производящая функция для трехмерного распределения вероятностей P(i,/,n,tj 44
3.3 Производящая функция для двумерного распределения вероятностей P (/, n, tj 46
3.4 Математическое ожидание величины капитала компании 47
3.5 Численные расчеты 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 54
Теория массового обслуживания (ТМО) представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей систем массового обслуживания (СМО), предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживание [1].
С увеличением вычислительной мощности современной техники возрос интерес к этому разделу теории вероятностей. Примерами современных приложений ТМО являются исследования математических моделей демографических процессов [18], торговых [10,8] и страховых компаний [5], пенсионных фондов [2].
К математическому моделированию и исследованию именно социально¬экономических систем в наше время наблюдается большой интерес.
На это, очевидно, влияет необходимость оптимизации работы реальных систем в соответствии с выбранными критериями. Подчеркнем, что изучение этих процессов непосредственно связано с исследованиями потоков событий (потоки клиентов, приходящих в банк, потоки показателей в любом торговом предприятии и т. п.). По результатам подобных исследований можно сделать вывод, что классические модели потоков (такие как, пуассоновские) искаженно описывают поведение реальных потоков.
В настоящей работе применение математического аппарата ТМО будет осуществлено на примере функционирования страховой компании, в которой интенсивность поступления клиентов.
Как правило, все работы в области актуарной математики и теории массового обслуживания, которые рассматривают модели страховых компаний, сосредоточены на анализе и построении моделей распределения вероятностей страховых премий [9] и страховых выплат [4,15]. В данной работе предлагается и реализуется подход для получения характеристик входящего потока и потока повторных обращений. Примером таких потоков выступают потоки клиентов, обслуживающихся в компании и повторно обратившихся в компанию соответственно.
Главной особенностью, рассматриваемой модели, является
зависимость входящего потока от количества занятых приборов системы (непуассоновский входящий поток).
На интенсивность входящего потока в нашем случае может оказывать влияние так называемая “неявная реклама”, то есть вероятность, что клиент порекомендует своим знакомым обратиться в компанию, услугами которой они пользуются. Исследование подобного влияния уже проводились [19,6], но без учета обратной связи. В нашей же системе, существует вероятность того, что довольный полученными услугами клиент захочет обратиться в компанию снова.
Целью данной работы является построение и исследование математической модели бесконечнолинейной системы массового обслуживания с обратной связью и интенсивностью, зависящей от состояния системы.
В рамках поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
- Построить математическую модель рассматриваемой системы; в качестве реального примера системы ввести страховую компанию.
- Исследовать процесс изменения во времени числа заявок в системе; получить аналитический вид вероятностных характеристик; провести численный анализ распределения вероятностей этого процесса.
- Исследовать поток повторных обращений; используя свойства производящей функции, определить среднее число повторных заявок в системе.
- Определить формулу для процесса изменения капитала страховой компании; исследовать этот процесс; найти математическое ожидание.
- С помощью численного анализа построить график зависимости среднего значения капитала от размера скидки для постоянных клиентов.
Структура работы - работа содержит три главы.
Первая глава содержит представление страховой компания как реального примера объекта исследования и описание математической модели рассматриваемой системы. В главе проведено исследование число заявок в системе. Найдены вероятностные характеристики процесса. С помощью метода характеристических функций, в среде Mathcad построено распределение вероятностей числа заявок в системе для стационарного и нестационарного режима функционирования системы.
Вторая глава посвящена исследованию потока повторных обращений. Рассмотрен также двумерный процесс числа заявок в системе и числа повторных обращений. Найдено среднее число заявок в системе.
В третьей главе введено определение процесса изменения капитала страховой компании и найден аналитический вид его математического ожидания. С помощью пакета прикладных программ Mathcad, проведен численный анализ и составлен график зависимости среднего значения капитала от размера скидки для повторно обратившихся клиентов.
С увеличением вычислительной мощности современной техники возрос интерес к этому разделу теории вероятностей. Примерами современных приложений ТМО являются исследования математических моделей демографических процессов [18], торговых [10,8] и страховых компаний [5], пенсионных фондов [2].
К математическому моделированию и исследованию именно социально¬экономических систем в наше время наблюдается большой интерес.
На это, очевидно, влияет необходимость оптимизации работы реальных систем в соответствии с выбранными критериями. Подчеркнем, что изучение этих процессов непосредственно связано с исследованиями потоков событий (потоки клиентов, приходящих в банк, потоки показателей в любом торговом предприятии и т. п.). По результатам подобных исследований можно сделать вывод, что классические модели потоков (такие как, пуассоновские) искаженно описывают поведение реальных потоков.
В настоящей работе применение математического аппарата ТМО будет осуществлено на примере функционирования страховой компании, в которой интенсивность поступления клиентов.
Как правило, все работы в области актуарной математики и теории массового обслуживания, которые рассматривают модели страховых компаний, сосредоточены на анализе и построении моделей распределения вероятностей страховых премий [9] и страховых выплат [4,15]. В данной работе предлагается и реализуется подход для получения характеристик входящего потока и потока повторных обращений. Примером таких потоков выступают потоки клиентов, обслуживающихся в компании и повторно обратившихся в компанию соответственно.
Главной особенностью, рассматриваемой модели, является
зависимость входящего потока от количества занятых приборов системы (непуассоновский входящий поток).
На интенсивность входящего потока в нашем случае может оказывать влияние так называемая “неявная реклама”, то есть вероятность, что клиент порекомендует своим знакомым обратиться в компанию, услугами которой они пользуются. Исследование подобного влияния уже проводились [19,6], но без учета обратной связи. В нашей же системе, существует вероятность того, что довольный полученными услугами клиент захочет обратиться в компанию снова.
Целью данной работы является построение и исследование математической модели бесконечнолинейной системы массового обслуживания с обратной связью и интенсивностью, зависящей от состояния системы.
В рамках поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
- Построить математическую модель рассматриваемой системы; в качестве реального примера системы ввести страховую компанию.
- Исследовать процесс изменения во времени числа заявок в системе; получить аналитический вид вероятностных характеристик; провести численный анализ распределения вероятностей этого процесса.
- Исследовать поток повторных обращений; используя свойства производящей функции, определить среднее число повторных заявок в системе.
- Определить формулу для процесса изменения капитала страховой компании; исследовать этот процесс; найти математическое ожидание.
- С помощью численного анализа построить график зависимости среднего значения капитала от размера скидки для постоянных клиентов.
Структура работы - работа содержит три главы.
Первая глава содержит представление страховой компания как реального примера объекта исследования и описание математической модели рассматриваемой системы. В главе проведено исследование число заявок в системе. Найдены вероятностные характеристики процесса. С помощью метода характеристических функций, в среде Mathcad построено распределение вероятностей числа заявок в системе для стационарного и нестационарного режима функционирования системы.
Вторая глава посвящена исследованию потока повторных обращений. Рассмотрен также двумерный процесс числа заявок в системе и числа повторных обращений. Найдено среднее число заявок в системе.
В третьей главе введено определение процесса изменения капитала страховой компании и найден аналитический вид его математического ожидания. С помощью пакета прикладных программ Mathcad, проведен численный анализ и составлен график зависимости среднего значения капитала от размера скидки для повторно обратившихся клиентов.
В результате работы были выполнены следующие задачи:
- построена математическая модель СМО с обратной связью и интенсивностью входящего потока, зависящего от состояния системы;
- исследован процесс изменения во времени числа заявок в системе; получен вида вероятностных характеристик; проведен численный анализ распределения вероятностей процесса;
- исследован потока повторных обращений; определено среднего числа повторных заявок в систему;
- введено определение процесса изменения капитала страховой компании; исследован этот процесс; найдено математического ожидания;
- построен график зависимости среднего значения капитала от размера скидки для постоянных клиентов в среде Mathcad.
Таким образом, все поставленные задачи выполнены, цель работы - исследование бесконечнолинейной СМО с обратной связью и интенсивностью входящего потока, зависящей от состояния системы - достигнута.
По результатам работы был сделан доклад на Международной научной конференции «Математическое и программное обеспечение
информационных, технических и экономических систем», г. Томск. (Диплом).
- построена математическая модель СМО с обратной связью и интенсивностью входящего потока, зависящего от состояния системы;
- исследован процесс изменения во времени числа заявок в системе; получен вида вероятностных характеристик; проведен численный анализ распределения вероятностей процесса;
- исследован потока повторных обращений; определено среднего числа повторных заявок в систему;
- введено определение процесса изменения капитала страховой компании; исследован этот процесс; найдено математического ожидания;
- построен график зависимости среднего значения капитала от размера скидки для постоянных клиентов в среде Mathcad.
Таким образом, все поставленные задачи выполнены, цель работы - исследование бесконечнолинейной СМО с обратной связью и интенсивностью входящего потока, зависящей от состояния системы - достигнута.
По результатам работы был сделан доклад на Международной научной конференции «Математическое и программное обеспечение
информационных, технических и экономических систем», г. Томск. (Диплом).
Подобные работы
- ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНЫХ СМО В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ
Бакалаврская работа, математика и информатика. Язык работы: Русский. Цена: 4300 р. Год сдачи: 2017