АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Пример системы из реальной жизни 5
2 Математическая модель 8
3 Метод асимптотического анализа 12
3.1 Асимптотика первого порядка 12
3.2 Асимптотика второго порядка 14
4 Численный пример 20
5 Оценка точности полученной аппроксимации 23
5.1 Численный алгоритм решения системы (4) 23
5.2 Численный пример 24
5.3 Сравнение аналитических результатов с результатами численного
решения 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
ЛИТЕРАТУРА 29
Современный мир трудно представить без систем телекоммуникации. Именно они предоставляют возможность передавать на большие расстояния информацию в любом виде: будь то текст, звук, сигнал, изображение и тд. Поэтому область применения телекоммуникационных систем охватывает практически все сферы деятельности человека. [1]
Математические модели телекоммуникационных систем и сетей строятся на основе теории систем массового обслуживания (СМО). [2, 3] Системы массового обслуживания обрабатывают требования (заявки), поступающие в систему через случайные временные промежутки. Время обслуживания также может быть случайной величиной. Основная задача методов теории СМО - исследовать влияние случайных факторов на процессы функционирования системы. [4]
Такие реальные телекоммуникационные системы, как сети сотовой связи, системы call-центров или компьютерные сети, имеют важную особенность - возникновение ситуаций, в которых заявки обращаются к прибору повторно с целью добиться обслуживания. Это происходит через некоторое случайное время после того, как заявка совершила неудачную попытку захватить прибор. В качестве математической модели подобных систем используются, так называемые, RQ-системы (Retrial Queueing System) [5, 6, 7] - системы с повторными вызовами.
RQ-системы на сегодняшний день исследованы в большом количестве научных работ, однако малоизученными остаются те из них, в которых какие- либо характеристики зависят от числа заявок на орбите [8, 9].
В данной работе для исследования выбрана RQ-система с MMPP входящим потоком [10, 11] и динамической скоростью обслуживания заявок. Изучение выбранной системы проводится с помощью метода асимптотического анализа в условии продолжительной задержки заявок на орбите [12, 13], позволяющего аналитически получить результаты, которые в дальнейшем можно применить для реальных СМО разной сложности.
Цель: построить математическую модель телекоммуникационной
системы в виде RQ-системы с MMPP входящим потоком и динамической скоростью обслуживания заявок; провести ее исследование.
Задачи:
1) Построить математическую модель системы;
2) Провести асимптотический анализ системы в условии продолжительной задержки заявок на орбите;
3) Найти предельные распределения вероятностей числа заявок на орбите и состояний прибора.
4) Реализовать численный алгоритм нахождения допредельного распределения вероятностей числа заявок на орбите;
5) Провести сравнительный анализ полученных результатов.
В работе применяются методы теории вероятностей и случайных процессов [14, 15], метод асимптотического анализа, численные методы.
В данной работе была исследована RQ-система с MMPP входящим потоком и динамической скоростью обслуживания заявок методом асимптотического анализа в условии продолжительной задежки заявок на орбите.
На первом этапе метода асимптотического анализа было найдено асимптотическое среднее число заявок на орбите; на втором - дисперсия. Найденные параметры позволили получить асимптотически гауссовскую аппроксимацию допредельного распределения вероятностей P(i) числа i заявок на орбите в рассматриваемой RQ-системе с MMPP входящим потоком и динамической скоростью обслуживания заявок.
А также, был проведен сравнительный анализ результатов, полученных методом асимптотического анализа в условии продолжительной задержки заявок на орбите и с помощью численного алгоритма для частного случая рассматриваемой RQ-системы с динамической скоростью обслуживания, когда поток является простейшим. Сравнение результатов позволило определить точность предлагаемой аппроксимации.
Таким образом, все поставленные задачи были выполнены, а цель работы - построить математическую модель телекоммуникационной системы в виде RQ-системы с MMPP входящим потоком и динамической скоростью обслуживания заявок; провести ее исследование - достигнута.
