Тема: ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАРТИНГАЛОВ ДЛЯ ХЕДЖИРОВАНИЯ ОПЦИОНОВ НА ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ

Изучение финансовых рынков в настоящее время помимо теоретического интереса приобретает все большее практическое значение. Это связано с тем, что финансовые рынки, лежащие в основе рыночных отношений, являются важными индикаторами состояния экономики в мире [20,21,22,23].
Именно поэтому в последние годы наблюдается растущий интерес к поиску новых моделей поведения на финансовых рынках.
Одной из фундаментальных задач финансовой математики является распределение ресурсов между финансовыми активами в целях обеспечения достаточных платежей, а также для получения высоких доходов.
В данной работе в качестве основного финансового инструмента использован опцион.
Исторически первой работой в теории финансов в направлении условий неопределенности стала работа Л. Башелье «Теория спекуляций», опубликованная в 1900 году [20].
В современной теории и практике опционов большую роль играет статья Ф. Блэка и М. Шоулса 1973 года [21]. Именно тогда возник математический интерес к задаче хеджирования. Авторы впервые дали математическую постановку задачи хеджирования для Европейских опционов, определив тем самым важные направления развития современной финансовой математики, основанной на стохастическом анализе. Открытие формулы Блэка-Шоулса привело к повышенному интересу к производным инструментам и взрывному росту торговли опционами [20,21,22,23,24,25].
Задача ценообразования опционов и построения хеджирующей стратегии хорошо изучена для Европейских и Американских опционов, но
существуют также и другие экзотические типы опционов. К таким, например, относятся азиатские опционы, получившие развитие в конце 1980-х и начале 1990-х годов [13].
Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестициях, основано на умении использовать математические методы для построения прогнозов, достаточно точных для принятия обоснованного инвестиционного решения.
При построении математических моделей динамики финансовых характеристик оказываются нужными всевозможные классы случайных процессов с дискретным и непрерывным временем. При описании этих процессов очень часто используются их разложения Дуба или Дуба-Мейера на прогнозируемую и мартингальную части. Поэтому, очевидно, что теория мартингалов является нужным и применимым инструментом в финансовой математике [1,2,3,6,8,12,13].
Задачами данной работы являются: исследование теоремы о представлении квадратично интегрируемых мартингалов; изучение основных финансовых инструментов и модели Блэка-Шоулса в непрерывном времени с двумя финансовыми активами
1В£ = 1’ .
(dSt = (7StdWt,S0 > 0.
Целями работы являются построение стратегии хеджирования для азиатского опциона; вычисление коэффициентов ( a t) 0 < t < ± мартингального представления для мартингала
с платежной функцией для дальнейшего использования его в вычислении хеджирующей стратегии, которая позволит перераспределить портфель ценных бумаг для получения наибольшей прибыли.
Купить

В работе исследован опцион азиатского типа в модели Блэка-Шоулса с двумя активами.
Изучены основные математические инструменты финансовой математики, а именно случайные процессы, винеровский процесс, условное математическое ожидание и его свойства, мартингалы. Исследован метод построения представления квадратично интегрируемых мартингалов. Рассмотренно применение теории мартингалов в задаче построения хеджирующих стратегий для опционов. Решена задача построения хеджирующей стратегии для азиатского опциона в модели Блэка-Шоулса, найдены формулы для ее построения (Теорема 2.2). Проведено численное моделирование построенных стратегий и проверка работоспособности полученных формул.
Результаты работы апробированны на Всероссийской молодежной конференции «Все грани математики и механики».
Купить