Аннотация
Введение 3
Глава 1. Стохастическое исчисление 5
1.1 Основные определения 5
1.2 Мартингалы 7
1.3 Теорема о представлении квадратично интегрируемых мартингалов
11
Глава 2. Финансовый рынок 15
2.1. Основные определения 15
2.2. Понятие опционов 17
2.3. Построение стратегий 18
Глава 3. Численное моделирование 23
3.1. Расчет хеджирующей стратегии 23
Заключение 31
Литература 32
Приложение A 35
Приложение Б
Изучение финансовых рынков в настоящее время помимо теоретического интереса приобретает все большее практическое значение. Это связано с тем, что финансовые рынки, лежащие в основе рыночных отношений, являются важными индикаторами состояния экономики в мире [20,21,22,23].
Именно поэтому в последние годы наблюдается растущий интерес к поиску новых моделей поведения на финансовых рынках.
Одной из фундаментальных задач финансовой математики является распределение ресурсов между финансовыми активами в целях обеспечения достаточных платежей, а также для получения высоких доходов.
В данной работе в качестве основного финансового инструмента использован опцион.
Исторически первой работой в теории финансов в направлении условий неопределенности стала работа Л. Башелье «Теория спекуляций», опубликованная в 1900 году [20].
В современной теории и практике опционов большую роль играет статья Ф. Блэка и М. Шоулса 1973 года [21]. Именно тогда возник математический интерес к задаче хеджирования. Авторы впервые дали математическую постановку задачи хеджирования для Европейских опционов, определив тем самым важные направления развития современной финансовой математики, основанной на стохастическом анализе. Открытие формулы Блэка-Шоулса привело к повышенному интересу к производным инструментам и взрывному росту торговли опционами [20,21,22,23,24,25].
Задача ценообразования опционов и построения хеджирующей стратегии хорошо изучена для Европейских и Американских опционов, но
существуют также и другие экзотические типы опционов. К таким, например, относятся азиатские опционы, получившие развитие в конце 1980-х и начале 1990-х годов [13].
Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестициях, основано на умении использовать математические методы для построения прогнозов, достаточно точных для принятия обоснованного инвестиционного решения.
При построении математических моделей динамики финансовых характеристик оказываются нужными всевозможные классы случайных процессов с дискретным и непрерывным временем. При описании этих процессов очень часто используются их разложения Дуба или Дуба-Мейера на прогнозируемую и мартингальную части. Поэтому, очевидно, что теория мартингалов является нужным и применимым инструментом в финансовой математике [1,2,3,6,8,12,13].
Задачами данной работы являются: исследование теоремы о представлении квадратично интегрируемых мартингалов; изучение основных финансовых инструментов и модели Блэка-Шоулса в непрерывном времени с двумя финансовыми активами
1В£ = 1’ .
(dSt = (7StdWt,S0 > 0.
Целями работы являются построение стратегии хеджирования для азиатского опциона; вычисление коэффициентов ( a t) 0 < t < ± мартингального представления для мартингала
с платежной функцией для дальнейшего использования его в вычислении хеджирующей стратегии, которая позволит перераспределить портфель ценных бумаг для получения наибольшей прибыли.
В работе исследован опцион азиатского типа в модели Блэка-Шоулса с двумя активами.
Изучены основные математические инструменты финансовой математики, а именно случайные процессы, винеровский процесс, условное математическое ожидание и его свойства, мартингалы. Исследован метод построения представления квадратично интегрируемых мартингалов. Рассмотренно применение теории мартингалов в задаче построения хеджирующих стратегий для опционов. Решена задача построения хеджирующей стратегии для азиатского опциона в модели Блэка-Шоулса, найдены формулы для ее построения (Теорема 2.2). Проведено численное моделирование построенных стратегий и проверка работоспособности полученных формул.
Результаты работы апробированны на Всероссийской молодежной конференции «Все грани математики и механики».
