Основные определения 5
2 Тензорное произведение модулей 8
3 Тензорное произведение алгебр 16
4 Сопряженность тензорного произведения и функтора Hom 18
5 Групповые алгебры 22
6 Алгебры инцидентности 25
7 Групповые алгебры и алгебры инцидентности 27
8 Алгебры категорий 30
9 Гипотезы Капланского 31
Список используемой литературы
Групповые кольца были введены Фробениусом и Шуром в начале 20-ого века и применялись, как формальный объект в задачах теории представлений групп. К 50-м же годам 20-ого века интерес к групповым кольцам возрастает, чему поспособствовали проблемы, выдвинутые Ирвингом Капланским. Очень знамениты гипотезы Капланского о делителе нуля в групповом кольце, об идемпотентах и об единице. Гипотеза о делителе нуля и гипотеза об идемпотентах на момент 2022 года остаются открытыми, а гипотеза Капланского о единице была опровергнута в феврале 2021 года математиком Джайлсом Гардамом. В настоящее же время, групповые кольца активно применяются в алгебраической топологии, криптографии и при изучении строения групп.
Изучение групповых колец интересно не только с точки зрения приложений, но и с точки зрения алгебры как таковой, ведь именно в теории групповых колец тесно переплетаются методы как теории групп, так и теории колец. Разнообразие ситуаций и порой их нестандартность может привлечь будущего исследователя.
В свою очередь алгебры инцидентности впервые были рассмотрены в статьях Джана-Карло Рота (Рота, Джан-Карло (1964), "Об основах комбинаторной теории I: теория функций Мёбиуса"), как обобщение теории 19 века о формулах обращения Мёбиуса. В настоящее время алгебры инцидентности имеют важное значение для теории чисел и комбинаторики. На первый взгляд кажется, что данные структуры не имеют никаких точек соприкосновения, ведь групповые алгебры - это некоторые формальные суммы, а алгебры инцидентности - это функции, заданные на декартовом произведении частично упорядоченных множеств. Однако, групповые алгебры и алгебры инцидентности имеют общую природу и довольно тесные связи. Действительно, алгебра инцидентности аналогична групповой алгебре, так как, и групповая алгебра, и алгебра инцидентности являются частными случаями алгебры категорий (Category algebra).
Целью же данной работы как раз и является установить некоторые связи (морфизмы) между групповыми алгебрами и алгебрами инцидентности. И, что ещё важнее, попытаться найти подходы к доказательству (или опровержению) гипотезы Капланского о делителях нуля для частого случая: группового кольца (алгебры) над алгеброй инцидентности.
