1 Введение 2
1.1 Симметрии как критерий выбора теорий гравитации, альтернативных ОТО 2
1.2 Постановка задачи, применяемые методы 3
1.3 Основные понятия и обозначения 3
1.3.1 Свойства симметрии тензора Римана 5
2 Симметрии дифференциальных уравнений 5
2.1 Симметрии алгебраических уравнений и их систем 6
2.2 Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений и их
систем 8
2.3 Симметрии дифференциальных уравнений в частных производных и их систем 9
2.3.1 Мноогообразие струй 9
2.3.2 Геометрический вид СДУ 11
2.3.3 Класс допустимых преобразований в пространстве Jm;n . . 15
2.3.4 Группа Ли допустимых преобразований 16
2.3.5 Система дифференциальных уравнений и дифференциальные следствия 17
2.3.6 Определяющие уравнения 18
3 Приложение к Р(Н,С)-гравитации 19
3.1 Модели однородного изотропного пространства 19
3.2 Нетеровские симметрии в теории 19
3.3 Определяющие уравнения симметрий Р(Н,С)-гравитации в случае плоской FRW - метрики 22
3.4 Теорема Нетер классической механики в терминах симметрийного
анализа 24
4 Допустимые F(R,G) - теории 25
4.1 Космологические решения 28
5 Заключение 30
Список использованной литературы 31
В работе рассматриваются модифицированные теории гравитации Эйнштейна - Гильберта, с лагранжианом, зависящим от скалярной кривизны пространства R и скаляра Гаусса-Бонне G. Лагранжиан L предполагается зависящим от R и G произвольным образом. Изучается, какие типы зависимостей L от R и G допускают существование симметрий в теории, для метрик пространства - времени, соответствующих однороному изотропному пространству (космологических метрик), на примере плоской метрики Фридмана - Робертсона - Уолкера. Таким образом, продемонстрирован способ отбора альтернативных к ОТО теорий гравитации из свойств симметрии, а не из феноменологических соображений. Изучен аппарат симметрий дифференциальных уравнений и использован для поиска теорий гравитации, допускающих симметрии
В работе рассмотрен формализм симметрийного анализа дифференциальных уравнений, который применен к F(R, G) - теориям гравитации на фоне плоской метрики Фридмана - Робертсона - Уолкера, допускающим симметрии Нетеровского типа. Данный подход позволяет теоретически ограничить модели гравитационного поля по симметрийным критериям. В некоторых частных случаях такие модели имеют космологические решения - степенные и экспоненциальные зависимости масштабного фактора от времени.
Подробный обзор современных моделей гравитационного поля приведен во Введении, а именно обзор теорий с дополнительными полями, производными высших порядков [5], [6], новыми степенями свободы в форме инвариантов от тензора кривизны [4] — [5] а также не - метрические теории гравитации. На основе проведенного обзора предпочтение отдано F(R, G) - теориям.
В разделе 2 приведены необходимые сведения из симметрийного анализа дифференциальных уравнений. На основе приведенного обзора получены определяющие уравнения для симметрий систем дифференциальных уравнений (обыкновенных, и в частных производных). Основной особенностью определяющих уравнений является учет всех дифференциальных следствий этих уравнений.
В разделе 3.1 рассмотрена идея применения теории симметрии к F(R,G~) - моделям теории гравитации на фоне метрик, соответствующих моделям однородного и изотропного пространства. Показано, что в этом случае, задача сводится к использованию теоремы Нетер для динамической системы.
В разделе 3.2 рассмотрены теоремы Нетер для динамической системы и для классической теории поля.
В разделе 3.3 получены определяющие уравнения для функций F(R, G), допускающих Нетеровские симметрии на фоне плоской FRW - метрики, в терминах теоремы Нетер.
В разделе 3.4 получены определяющие уравнения для функций F(R, G), допускающих Нетеровские симметрии на фоне плоской FRW - метрики, в терминах симметрийного анализа дифференциальных уравнений (раздел 2), что является основным результатом настоящей работы. По существу, теорема Нетер в классической механике была переформулирована в терминах симметрийного анализа.
В разделе 4 выписаны результаты решения определяющих уравнений и соответствующие им Нетеровские симметрии. Указана возможность получения интегралов движения во всех найденных теориях с помощью теоремы Нетер. Показано, что в некоторых частных случаях найденные теории дают важные для современной космологии решения - степенные и экспоненциальные.
