ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНЫХ СМО С ИНТЕНСИВНОСТЬЮ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ЧИСЛА ЗАНЯТЫХ ПРИБОРОВ

РЕФЕРАТ 3
Введение 7
1 Исследование математической модели бесконечнолинейной системы
массового обслуживания вида М(/)|М|да 10
1.1 Математическая модель СМО М(/)|М|да с интенсивностью входящего
потока вида Z(i) = (i +1)1 10
1.1.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.1.2 Метод производящих функций 12
1.1.2 Основные вероятностные характеристики 15
1.1.3 Распределение вероятностей числа заявок в системе в стационарном режиме 17
1.1.4 Численные примеры 18
1.2. Математическая модель СМО М(/)|М|да с интенсивностью входящего потока вида X(i) = a + bi 21
1.2.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 21
1.2.2 Метод производящих функций 22
1.2.3 Математическое ожидание и дисперсия числа заявок в СМО 25
1.2.4 Характеристики системы в стационарном режиме 26
1.2.5 Численные примеры 28
2 Исследование математической модели бесконечнолинейной системы
массового обслуживания вида ММР(/)|М|да с марковским модулированным входящим потоком переменной интенсивности 30
2.1 Математическая модель марковского модулированного потока с
переменной интенсивностью 30
2.2 Математическая модель СМО ММР(/)|М|да с интенсивностью
входящего потока вида 1к (i) = ak + bki 32
2.2.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 33
2.2.2 Метод характеристических функций 34
2.2.2 Метод начальных моментов 36
Первый момент числа занятых приборов 36
Второй момент числа занятых приборов 37
2.2.3 Численные примеры 39
Заключение 41
Литература
Купить

Математическому моделированию различных экономических процессов в настоящее время уделяется достаточно большое внимание. Связано это с тем, что в последние годы в нашей стране произошли значительные изменения в области приложений математики. Переход к рыночной экономике заставил перенести интересы специалистов по прикладной математике в новые области.
Теория массового обслуживания (ТМО) является самостоятельным разделом теории вероятностей и случайных процессов и включает теоретические и прикладные исследования, задачей которых является анализ показателей производительности и эффективности экономических систем.
В качестве математических моделей социально-экономических систем часто рассматривают системы массового обслуживания (СМО), предназначенные для обработки поступающих требований (заявок) [3]. Важную роль при этом играет случайность таких факторов как моменты поступления заявок, а также времени обработки или обслуживания заявок.
Примерами современных приложений ТМО являются исследования математических моделей демографических процессов [12], торговых и страховых компаний [5,6], пенсионных фондов [4]. Известно также достаточно большое количество работ по моделированию работы центра обработки вызовов (call-center) - это услуга сети, в которой агенты предоставляют телефонные услуги. Как правило, число операторов, работающих в таких компаниях, может быть достаточно велико. Обслуживание каждого клиента начинается незамедлительно (то есть системы без отказов) [1].
Рассмотрим применение математического аппарата ТМО на примере функционирования страховой компании. Классическая модель страховой компании характеризуется тем, что процесс поступления в компанию страховых премий является детерминированным, страховые выплаты являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами; моменты наступления страховых выплат образуют пуассоновский поток. Поток страховых выплат считается независимым от поступления страховых премий. Это допущение предполагает, что компания уже какое-то время проработала, и имеется определенное число застрахованных рисков [5]. Так, например, в работах Даммер Д.Д.[6] в компанию поступают риски, которые образуют простейший поток событий интенсивности X, что не всегда адекватно, так как интенсивность может менять значения в зависимости от различных факторов.
На интенсивность входящего потока может оказывать влияние так называемая “неявная реклама”, то есть клиенты с некоторой вероятностью рекомендуют своим знакомым обратиться в ту страховую компанию, услугами которой они пользуются.
В настоящей работе предлагается математическая модель изменения числа клиентов страховой компании с “неявной рекламой” в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, которые часто используются для описания процессов в социально-экономических системах.
Цель настоящей работы - построение и исследование математических моделей бесконечнолинейных систем массового обслуживания с интенсивностью, зависящей от числа занятых приборов.
В рамках поставленной цели сформулированы следующие задачи:
- методом производящих функций исследовать систему массового обслуживания вида М(/)|М|да с интенсивностями входящего потока вида 1(i) = (i +1)1 и 1(i) = a + bi, а именно: получить ряд распределения вероятностей и основные вероятностные характеристики для числа занятых приборов в системе в стационарном и нестационарном режимах функционирования;
- построить математическую модель системы массового обслуживания, на вход которой подается марковский модулированный поток заявок с матрицей интенсивностей вида Л = A + Bz, и с помощью метода характеристических функций определить выражения для вероятностных характеристик числа занятых приборов в системе в стационарном режиме.
Структура работы. Работа состоит из введения, двух основных параграфов, заключения и списка литературы.
В первом параграфе рассмотрена математическая модель бесконечнолинейной системы массового обслуживания вида М(/)|М|да, а также получены основные вероятностные характеристики для числа занятых приборов в системе в стационарном и нестационарном режимах функционирования и ряд распределения вероятностей;
Во втором параграфе исследована математическая модель бесконечнолинейной системы массового обслуживания вида ММР(/)|М|да с марковским модулированным входящим потоком переменной интенсивности, а также получены выражения для вероятностных характеристик числа занятых приборов в системе в стационарном режиме.
1 Исследование математической
Купить