ВВЕДЕНИЕ 3
1. Стохастические дифференциальные уравнения 7
1.1 Случайные процессы 7
1.2 Интеграл Ито 9
1.3 Стохастический дифференциал 13
2. Регрессионные модели 18
2.1 Непараметрические регрессионные модели 18
2.2 Построение регрессионной модели для анализа доходностей акций компаний 20
3. Диффузионные модели 24
3.1 Диффузионные процессы 24
3.2 Построение диффузионной модели для анализа доходностей акций компаний 27
3.3 Некоторые частные случаи диффузионных моделей 31
3.3.1 Модель Мертона 31
3.3.2 Модель Васичека 33
3.3.3 Модель Блэка-Шоулса 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38
ЛИТЕРАТУРА 39
ПРИЛОЖЕНИЕ А 42
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 44
ПРИЛОЖЕНИЕ В 46
ПРИЛОЖЕНИЕ Г 47
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
В современном естсествознании актуальной является задача построения математических моделей, описывающих динамику изучаемых процессов. Наибольшую популярность приобрели вероятностно-статистические или стохастические модели, которые позволяют учитывать влияние случайных факторов на процесс. Явным примером является задача моделирования процентных ставок в теории современных финансов. В первую очередь это связано с бурным ростом в последние два десятилетия рынков процентных инструментов.
Естественным и объяснимым является факт, что финансовые рынки стран Восточной Европы существенно менее развиты и ликвидны по сравнению, с Соединеными Штатами или Западной Европой. В то же время стоит отметить, что развивающиеся рынки обладают рядом особенностей, к которым могут относиться достаточно высокие уровни инфи- ляции, контроль процентных ставок со стороны центральных банков или правительств, свойства существующей рыночной инфраструктуры и т.п. Эти особенности могут сделать неприменимыми многие популярные модели, вполне работоспособные и эффективные в условиях развитых рынков. Поэтому моделирование рисковых активов - область, требующая достаточно сложного математического аппарата, в частности стохастического анализа.
Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами (соответственно - купонными выплатами в случае облигаций), а возможностью "делать"деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и продавая их по высокой цене перед тем, как другие будут это делать.
Резкое повышение интереса к рынку ценных бумаг во всех странах мира относят к началу семидесятых годов XX в. Естественно попытаться понять, что же произошло к началу семидесятых годов, что послужило толчком к новым сдвигам в экономике и, в частности, на рынке ценных бумаг.
Финансовый рынок (включая и рынок капитала - долгосрочных бумаг, и денежный рынок - краткосрочных бумаг) в шестидесятые годы отличался очень низкой волатильностью (изменчивостью), процентные ставки стали очень устойчивыми, обменный курс валют был фиксированным. С 1934 года по 1971 год США придерживались политики покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 долларов на унцию. Доллар США рассматривался как эквивалент золота, был "также хорош, как и золото". Тем самым истинная цена золота определялась не рыночными силами, а искусственным образом.
Такое общее состояние рынка ограничивало инициативу инвесторов, сдерживало введение новой финансовой технологии.
С другой стороны, в 70-х годах произошло несколько событий, способствовавших значительным структурным изменениям и возрастанию волатильности на финансовых рынках. Наиболее важные среди них :
1. Отказ (1973 г.) от фиксированного обменного курса валют (для ряда групп стран) и переход к "плавающему"курсу (для некоторых видов валют в определенном "коридоре"), что поставило, в частности , интересную и важную задачу об оптимальных интервенциях центральных банков;
2. Обесценивание доллара по отношению к золоту в середине 70-х и начале 80-х годов прошлого века;
3. Всемирный нефтянной кризис, ставшего одним из основных законодателей цен на нефть на международном уровне.
Первая вероятностная модель изменения рыночных цен была построена в диссертации Л. Башелье . В ней предполагалось, что приращения цены являются случайными величинами, независящими от передыстории. В результате модель цены как функции времени была определена как случайны процесс, позднее названный винеровским. Дальнейшие исследования богатой статистики функционирования фондовых рынков привели к уточнению этой модели: вместо значения цен следует моделировать логарифмы цен, для которых моделью является винеровский процесс.
Свойство независимости приращений логарифмов рыночных цен впервые на реальных данных исследовал М. Кендалл. В своем докладе на заседании Королевского статистического общетсва Великобритании в 1953 г. он описал статистические свойтсва изученных им следующих данных: недельные цены для 19 акций в период с 1928 по 1938 год; месячные средние цены на пшеницу на Чикагском рынке с 1853 по 1934 годы, а также на хлопок на Нью-Йоркской торговой бирже с 1816 по 1951 год. Пытаясь найти ритмы, тренды или циклы в этих ценах, он пришел к заключению, что "... Демон Случая извлекал случайным образом число ... и добавлял его к текущему значению для определения ... цены в следующий момент".
...
В работе были рассмотрены регрессионные и диффузионные модели. Изучена задача оценивания неизвестной функции S(•) в этих моделях. Стоит заметить, что процедуры идентификации регрессионной и диффузионной моделей существенно различаются. Получены оценки МНК и улучшенные оценки для неизвестной функции S(•) в рассматриваемых моделях. Для вывода оценок требуется сложный математический аппарат, так как модели описываются стохастическими дифференциальными уравнениями. Для решения поставленных задач были изучены основные понятия стохастического исчисления: случайный процесс, Винеровский процесс, диффузионный проццесс, интеграл Ито.
Рассмотрены некоторые частные случаи диффузионной модели: модели Мертона, Ва- сичека, Блэка-Шоулса. В этих моделях известен общий вид функции S(•) и требуется оценить неизвестные параметры, для этих целей был изучен и использован метод моментов.
После идентификации всех моделей было проведено численное моделирование в среде MATLAB . Посчитаны эмпирические риски, которые указывют на то насколько удачно были подобраны модели. В ходе моделирования численно подтверждено превосходство улучшенной оценки над оценкой МНК. Также на примере модели Блэка-Шоулса показано, что зная вид неизветсной функции S(•), можно добиться лучших результатов. Следует отметить, что из всех рассмотренных моделей, именно применение непараметрической модели Блэка-Шоулса позволяет достичь более точного описания исследуемых даннных. Моделирование проводилось с использованием реальных данных - доходностей цен акций ПАО "Сбербанк"и ПАО "Газпром". Данные получены с сайта "Финам.ги"
