ВВЕДЕНИЕ 3
1 Необходимые определения 4
1.1 Предварительные сведения 4
1.2 Введение понятия почти вполне замкнутого отображения 7
2 Обобщение результатов для F-компактов 9
2.1 Критерий почти вполне замкнутости отображения 9
2.2 Метризуемость компакта и его почти вполне замкнутое отображение 11
2.3 Композиция почти вполне замкнутых отображений 13
2.4 Сужение класса квази-Г-компактов 18
2.5 Антимультипликативность квази-Г-компактов и почти единственность
спектрального разложения 22
2.6 Пример F-компакта с различными спектральными высотами sh и qsh 26
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 29
В 60-70-е годы XX века В.В. Федорчук разработал метод построения контрпримеров в теории компактных пространств, а именно метод вполне замкнутых отображений. Как оказалось впоследствии, класс вполне замкнутых отображений обладает уникальными категориальными свойствами, которые определяются топологической независимостью прообразов точек при вполне замкнутом отображении. Был определен и исследован класс компактов, которые могут быть построены с использованием этого метода. Такие компакты получили название компактов Федорчука, или F -компактов. Однако у метода есть некоторые минусы. Например, композиция вполне замкнутых отображений может не быть вполне замкнутой. Также не обязательно вполне замкнуты произвольные проекции F -спектра, что создает определенные трудности при построении контрпримеров и исследовании класса F -компактов. В связи с этим А.В. Иванов вводит обобщение понятия вполне замкнутости, чтобы избавиться от указанных недостатков, но сохранить инструментарий, разработанный для метода вполне замкнутых отображений.
Перед автором этой работы стояла задача подробным образом изучить статью А.В. Иванова [1], обобщающую некоторые результаты в отношении F - компактов, разобрать и дополнить до ясности доказательства, в которых, по мнению автора, порой были пропущены важные и неочевидные моменты. Кроме того, во вводном разделе была восстановлена связь между первоначальным определением Федорчука [2] для вполне замкнутого отображения и обобщенным определением Иванова, а также представлены некоторые примеры нового понятия.
Стоит заметить, что в этой работе все пространства - хаусдорфовы компакты, а отображения - непрерывные сюръекции, если не указано обратное.
Положим теперь Z3 = R (Z2, Y(x; у), h(x;у)) , п2 = п : Z3 > Z2 , где п - проекция резольвенты. Компакт Z3 как множество вкладывается в I3 , его точки мы будем
обозначать через (x; у; z). Пусть Z0 есть точка и п0 : Z1 ^ Z0 - постоянное отображение. Таким образом, мы получили F -спектр S =
предел которого равен Z3. Значит, Z3 - F -компакт и sh(Z3) <4. В силу предложения 2 прообраз каждой точки x е Z1 при отображении п3 = п2 ° п2
метризуем. Поэтому F - спектр S можно «ужать» до неприводимого квази-F -спектра длины 3. Следовательно, qsh(Z3) = 3 . Остается показать, что sh(Z3) = 4.
Предположим противное. Тогда существует вполне замкнутое отображение
f: Z3 ^ K на метрический компакт с метризуемыми слоями. По лемме 2 почти
все нетривиальные слои отображения п3 являются слоями f. Следовательно, существует множество Ax такое, что для любого t е Ax слой слоем f. В силу построения отображения h, 0, множества
(Х; 0)
i = 0, 1 имеют в Z3 непересекающиеся
замыкания, поскольку Ci = Ci U {(x; 0; i)}, i = 0, 1. Остается заметить, что отображение f склеивает точки (аХ; 0; 0) е C0 и (аХ; 1; 0) е C1, причем f (аХ; 0; 0) = f (am; 0; 0) при n = m . Таким образом, f(C0) A f (C 1)| = го , что противоречит вполне замкнутости f. Итак, Z3 - искомый компакт. ■
