АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Численное решение одномерного уравнения теплопроводности 7
1.1 Физическая постановка задачи 7
1.2 Математическая постановка задачи 8
1.3 Дискретизация и численный метод решения 10
1.3.1 Построение явной разностной схемы 10
1.3.2 Порядок аппроксимации 13
1.3.3 Устойчивость и сходимость 14
2 Численное решение двумерной задачи теплопроводности 19
2.1 Физическая постановка задачи 19
2.2 Математическая постановка задачи 20
2.3 Дискретизация и численный метод решения 20
2.3.2 Порядок аппроксимации 22
2.3.3 Устойчивость и сходимость 23
3 Численные эксперименты и верификации 26
3.1 Результаты численного решения одномерного уравнения
теплопроводности 26
3.2 Результаты численного решения двумерного уравнения
теплопроводности 28
3.3 Верификации результатов расчета с Ansys Fluent 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 36
Изучение процессов теплообмена при рассмотрении многих явлений в природе и технике играет важную роль. В большинстве случаев, проведение натурного эксперимента затруднено или требует дорогостоящих вложений. Прогнозирование процессов теплообмена в этом случае возможно получить при помощи численного моделирования процессов распространения тепла в различных системах тел.
В последнее время интерес к математическому моделированию сложных физических процессов и потребность в нем заметно возросли. Во многом это связано с прогрессом в развитии вычислительной техники. Достаточно эффективным методом численного решения задач математической физики является метод конечных разностей или метод сеток, позволяющий использовать конечноразностные аппроксимации вместо производных в дифференциальном уравнении.
Уравнение для описания одного из основных механизмов переноса тепла (теплопроводности) является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, которое описывает процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твердом теле) [1].
Данная работа посвящена изучению метода конечных разностей, его применение в нахождении численного решения линейной задачи теплопроводности о распространении тепла через стальную плоскую пластину. Рассматриваются одномерная и двумерная задачи, с использованием явной разностной схемы с постоянным значением коэффициента теплопроводности.
Выполнено исследование аппроксимации, устойчивости и сеточной сходимости полученных разностных схем. Также в работе производится сравнение результатов численного решения задачи, с данными, полученным в программе ANSYS Fluent.
В данной работе рассматривается алгоритм численного решения уравнения теплопроводности описывающего процесс нагрева однородной пластины из нержавеющей и углеродистой стали, на основе метода конечных разностей на равномерной сетке.
Аппроксимация поставленной дифференциальной задачи проводится с использованием явной разностной схемы для одномерного и двумерного случаев. Выполнено исследование разностных схем на устойчивость, погрешность аппроксимации и сеточную сходимость. Разработаны алгоритмы и реализованы на языке программирования Pascal ABC.
Проводится сравнение полученных результатов численного расчета с использованием явной разностной схемы для одномерного и двумерного случаев.
В работе также проведено математическое моделирование процесса нагрева пластины из углеродистой и нержавеющей стали в пакете гидродинамики ANSYS Fluent. Результаты сравнения показали высокий уровень согласования, что в свою очередь служит подтверждением работоспособности разработанных численных алгоритмов на основе явной схемы. Визуализирован процесс прогрева пластины.
При исследовании полученного распределения температуры в пластинах из углеродистой и нержавеющей стали, а также при заданных в задаче условиях видно, что пластина из нержавеющей стали нагревается значительно медленнее, чем пластина из углеродистой стали. Такая сталь нашла широкое применение в пищевой промышленности, как один из лучших материалов для выпуска посуды.
