Содержание 2
Введение 3
Основная часть 5
1 Некоторые определения, утверждения и леммы 5
2 Основная теорема бакалаврской работы 18
3 Некоторые результаты для групп с совершенной инволюцией .... 22
Заключение 26
Список использованных источников 27
Большое количество фундаментальных теорем теории конечных групп связано с понятием инволюции. Так, Бернсайд доказал, что в конечной группе с циклической силовской 2-подгруппой все элементы нечётного порядка составляют нормальную подгруппу. Согласно примеру, построенному С. И. Адяном [1], для бесконечных периодических групп это утверждение неверно даже в случае, когда силовская 2-подгруппа имеет порядок 2 и является центром группы.
В последние десятилетия выяснилось, что для периодических групп неверны такие ключевые результаты теории конечных групп, как Z*-теорема Глаубермана и теорема Бэра-Судзуки (в чётном варианте). С другой стороны, на класс групп с конечной инволюцией (см. определение 1.6) некоторые интересные результаты теории конечных групп переносятся без потерь [2].
В теории конечных групп большое значение имеет теорема Фробениуса. Конечная группа G называется группой Фробениуса, если в ней найдётся собственная подгруппа H, совпадающая со своим нормализатором и пересекающаяся по единице со всеми сопряжёнными с ней подгруппами, отличными от H [3]. Согласно теореме Фробениуса, элементы группы G, не принадлежащие H и всем сопряжённым с ней подгруппам, вместе с единицей составляют нормальную подгруппу F группы G, называемую ядром. Группа G есть полупрямое произведение ядра F и своей подгруппы H, называемой дополнением. Имеется ряд теорем, описывающих строение ядра и дополнения конечной группы Фробениуса (см., например, [4]). Необходимость обобщения теоремы Фробениуса на бесконечные группы отмечалась ещё О. Ю. Шмидтом [3]. Однако уже в классе всех периодических групп теорема Фробениуса неверна [4], поэтому речь идёт о переносе теоремы лишь на некоторые классы групп.
Цель бакалаврской работы — доказать, что в группе G 2-ранга 1 с конечной инволюцией и такой инволюцией i, централизатор которой является 2-группой, не максимальной в G, все элементы, не принадлежащие подгруппе CG(i) и сопряжённым с ней подгруппам, вместе с единицей составляют нормальную подгруппу. Как будет показано, строение группы G следующее: группа является группой Фробениуса с абелевым ядром, все инволюции группы сопряжены и потому являются конечными, лежат вне этого ядра и инвертируют сопряжением каждый элемент ядра. Каждый неединичный элемент группы лежит либо в абелевом ядре, либо в централизаторе некоторой инволюции.
В ходе доказательства сначала определяется строение некоторой сильно вложенной подгруппы, содержащей централизатор конечной инволюции и не совпадающей с ним, а далее выясняется строение самой группы. Поэтому дополнительное условие о том, что централизатор инволюции не является максимальной подгруппой, существенно используется в доказательстве.
В тексте бакалаврской работы приведены подробные доказательства некоторых ключевых результатов, которые использовались при доказательстве основной теоремы. Некоторые леммы и утверждения удалось перенести на более общий при данных ограничениях на группу G случай, когда инволюция i совершенна в G (см. определение 3.1) при условии, что CG(i) содержится в сильно вложенной подгруппе B группы G.
В работе получены следующие результаты:
1) доказано, что каждая группа G 2-ранга 1 с конечной инволюцией и инволюцией i, централизатор которой является 2-группой, не максимальной в G, локально конечна и является группой Фробениуса с абелевым ядром [i,G], каждый элемент которого инвертируется инволюцией i и всеми инволюциями группы, и дополнением CG(i);
2) показано, что в каждой группе G 2-ранга 1 с совершенной инволюцией j, централизатор CG(j) которой является 2-группой, и сильно вложенной подгруппой B группы G такой, что CG(j) < B, все инволюции сопряжены и совершенны в G;
3) в условиях предыдущего пункта для каждой инволюции i £ G B подгруппа H = B П B * не содержит инволюций, H — абелева группа, каждый элемент которой инвертируется инволюцией i.
Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут использоваться для изучения бесконечных групп с конечными и совершенными инволюциями. Результат, изложенный в теореме 2.1, докладывался на 48 Международной школе-конференции «Современные проблемы математики и её приложений» и на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Проспект Свободный-2017».
