Аннотация
Введение 3
1 Решения уравнения Дирака с асимметричной потенциалвной сту-
пенвкой 5
1.1 Асимметричная потенциалвная ступенвка 5
1.2 Построение общего решения уравнения Дирака 9
1.3 Решения со специалвными левой и правой асимптотиками . . 12
1.4 In и out-состояния 19
2 Процессы в разных областях изменения квантовых чисел 21
2.1 Процессы в зоне Клейна 21
2.2 Процессы вне зоны Клейна 22
3 Регуляризация ступенвки Клейна 25
Заключение 29
Литература 30
Приложение А Некоторые соотношения для гипергеометрических функций 32
Эффект рождения частиц в сильных полях электромагнитной, гравитационной и иной природы уже давно привлекает внимание многих исследователей. Впервые данный эффект был рассмотрен в рамках релятивистской квантовой механики, но из-за ограничений и возникновения парадоксов, было понятно, что необходимо использовать другую модель. В рамках квантовой теории поля (КТП) с внешними фонами (внешними полями), которую можно считать, в определённой степени, подходящей для расчётов данного эффекта, он тесно связан с нарушением стабильности вакуума. Расчёты в данной модели должны быть непертурбативными по отношению к взаимодействию с сильными фонами. Подходящими являются поля, способные производить ненулевую работу при взаимодействии с частицами. Например, в случае заряженных частиц, поле должно быть подобно электрическому. На таких фонах любой процесс сопровождается рождением частиц, и, следовательно, его можно считать происходящим в системе многих частиц. Таким внешним фоном является t-электрическая потенциальная ступенька: зависящее от времени внешнее электрическое поле, которое включается в начальный и выключается в конечный моменты времени. Также подходящими являются неоднородные электрические поля, ограниченные не во времени, а в некоторых пространственных областях. По аналогии с временными, такие простраственные поля называются х-электрическими потенциальным ступеньками. С последними связан парадокс, который обнаружил Оскар Клейн при рассмотрении поведения релятивистских частиц, взаимодейтсвующих с электрическим полем. Напомним, что суть парадокса Клейна заключается в том, что при падении релятивистских электронов с подходящей энергией на достаточно высокий потенциальный барьер (ступеньку Клейна), отражённых частиц наблюдается больше, чем падающих. Для каждого из этих типов полей используются похожие, но разные подходы к рассмотрению квантовых эффектов. Данной проблемой первым заинтересовался Фриц Заутер), рассмотревший сглаженную потенциальную ступеньку с потенциалом —аЕ cosh2 (х/а).
Поля типа t-электрической потенциальной ступеньки рассматривались таких работах, и используются, например, при объясении
проводимости графена. Методы расчёта квантовых эффектов рождения частиц в случае ж-электрической потенциалвной ступенвки был подробно разобран в работе. Он применяется, например, для разрешения парадокса Клейна и при рассмотрении квантовых эффектов между обкладками кондесатора.
В данной работе исследуется возможности регуляризации ступеньки Клейна асимметричным потенциалом. Это представляет научный интерес, т.к. эффекты рождения частиц имеют существенное влияние во многих системах, рассматриваемых в физике. Т.к. ступенька Клейна является наиболее простым и изученным потенциалом, на котором могут происходить требуемые процессы, может быть важно увидеть закономерности, при которых возможна регуляризация данного случая другими, более сложными.
Выделим несколько задач. Во-первых, сравниваем используемый потенциал с уже изученными ранее, и находим из них подходящий. В нашем случае таким потенциалом является хорошо исследованный симметричный потенциал Заутера. Во-вторых, найдём вид общего решения уравнения Дирака и явное выражение для ^-коэффициентов. В-третьих, исследуем возможность регуляризации, для чего будем действовать аналогичнслучаю заутеровского поля в работе , и сравним полученный результат.
Работа структурирована следующим образом. В первом разделе рассматривается сам потенциал, находится его связь с потенциалом Заутера. Также выражаются подходящие решения уравнения Дирака и явный вид g-коэффицинтов, для чего используются соотношения для гипергеометрических функций. Во втором разделе коротко рассматриваются процессы, происходящие в различных областях энергий налетающей частицы. В третьем разделе рассматривается возможность регуляризации ступеньки Клейна, для чего используется результат обоих предыдущих разделов.
Сформулируем основные результаты работы. Используя общий формализм, представленный в работе, был рассмотрен случай сглаженной ж-потенциальной ступеньки, описывающей асимметричным потенциалом вида (3). Данный потенциал можно представить как некоторую “деформа- цию“ известного случая потенциала Заутера, отличие от которого состоит в ассиметричности потенциального поля относительно оси отражениям. Для подтверждения этого было проведено сравнения обоих случаев. Также были проведены расчёты аналогично рассмотрению случая симметричного потенциала Заутера, и выявлено, что явный вид выражений вероятностей прохождения и отражения частиц совпадает при малой деформации а. На основе этого сделан вывод о возможности регуляризации ступеньки Клейна нашим асимметричным потенциалом. Кроме этого были найдены специальные точные решения уравнения Дирака, которые представлены в виде стационарных плоских волн со специальными левой и правой асимптотами, и идентифицированы как компоненты начального и конечного волновых пакетов частиц. Вместе с тем объявлены полные наборы этих решений в каждой области Q изменения квантовых чисел, а также выписан явный вид д-коэффициентов, определяющих вероятности перехода из in-набора в out-набор.
Явные выражения для д-коэффициентов, полученные в данной работе, позволяют в дальнейшем проанализировать вероятности отражения и прохождения налетающих на асимметричную ступеньку фермионов. Кроме того полученный явный вид соотношения (40) даёт возможность найти количество рождённых из вакуума электрон-позитронных пар в зоне Клейна. Также, используя условие, определяющее границы данной зоны, можно найти необходимую для рождения пары энергию налетающей на критическую потенциальную ступеньку частицы.
Представленный в данной работе анализ возможности регуляризации ступеньки Клейна потенциалом, отличающимся от конкретных хорошо изученных случаев, позволяет видеть возможность аналогичного рассмотрения для более сложных ситуаций, например, потенциала, описывающимся функцией Ламберта.
