В этой работе будет рассмотрено безмассовое уравнение Дирака в (2 1)-мерном пространстве времени во внешнем электромагнитном поле. Это уравнение в теоретической физике описывает безмассовые частицы со спином 1/2, находящиеся в (2 +1)-мерном пространстве времени. Таким образом уравнение является основной моделью для исследования дираковских фермионов нулевой массы.
Следует отметить, что в физике конденсированных сред (2 + 1)-мерное уравнение Дирака с внешним электромагнитным потенциалом используется для теоретического изучения свойств графена [1,2]. Это уравнение представляет интерес при изучении плоской гравитации, что отмечается, например, здесь [3]. Также безмассовые фермионы встречаются в контексте конформной теории поля, струнной теории и других областях теоретической физики [4]. Поэтому разработка математических методов для нахождения новых точных решений для (2 + 1)-мерного уравнения Дирака важна ввиду разнообразия приложений релятивистских квантовых уравнений к актуальным проблемам квантовой теории.
Одним из способов нахождения точных решений является метод разделения переменных. Задача о разделении переменных для уравнения Дирака в (3 + 1)-мерном пространстве-времени Минковского была решена начале 1970-х годов [5]. В 2018 году была опубликована статья [6] о разделении переменных для массивного уравнения Дирака в (2 + 1)-мерном пространстве-времени. Данная работа является продолжением этой статьи про массивный случай, но теперь будет рассматривается безмассовое уравнение Дирака в (2 1)-мерном пространстве-времени.
Таким образом, цель данной работы является полное разделение переменных для безмассового уравнения Дирака в (2 1)-мерном пространстве-времени с внешним электромагнитным полем в пространстве-времени Минковского с использованием взаимно коммутирующих операторов симметрии первого порядка с матричными коэффициентами.
В результате данной работы была достигнута цель по полному разделению переменных для безмассового уравнения Дирака в (2 1)-мерном пространстве-времени с внешним электромагнитным полем в пространстве-времени Минковского с использованием взаимно коммутирующих операторов симметрии первого порядка с матричными коэффициентами.
Для достижения данной цели были решены следующие вспомогательные задачи:
1. Используя определяющее уравнение, был построен оператор симметрии первого порядка с матричными коэффициентами (26) для безмассового уравнения Дирака в (2 + 1)-мерном пространстве времени во внешнем электромагнитном поле.
2. Была изучена конформная алгебра (36), совпадающая с алгеброй операторов симметрии первого порядка для безмассового уравнения Дирака в (2 1)-мерном пространстве времени, а также изоморфизм с алгеброй so (2, 3).
3. Была проведена классификация вектора конформной алгебры относительно присоединённого представления группы. Построена таблица 1, в которую внесены неэквивалентные вектора.
4. Использовав вид линейных операторов симметрии первого порядка и классификацию операторов симметрии, полученную ранее, построены стационарные подалгебры, отвечающие каждому такому неэквивалентному оператору симметрии.
5. Была проведена классификация вектора из стационарной алгебры относительно присоединённого представления стационарной группы. Составлена таблица 2, в которую внесены наборы неэквивалентных векторов.
6. Выделены неэквивалентные наборы, шесть из которых совпали с работой [6]. Составлена таблица 4, в которой внесены 10 неэквивалентных наборов.
7. Проведена процедура полного разделения переменных в безмассовом уравнении Дирака в (2 + 1)-мерном пространстве-времени с внешним электромагнитным полем.
Данную работу можно продолжить, изучив оператор симметрии второго порядка для безмассовом уравнении Дирака в (2 1)-мерном пространстве-времени. Также можно дополнить, рассмотрев более сложную метрику т.е. искривлённое (2 + 1)-мерное пространство-время, или обобщить использовав другой векторный потенциал.
