Аннотация 3
ВВЕДЕНИЕ 6
1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 8
1.1 Граничные условия 8
2 МЕТОД КОНТРОЛЬНЫХ ОБЪЕМОВ (МКО) 11
2.1 Методика решения трехмерного уравнения теплопроводности 11
З. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ 16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 26
Исследование процессов теплообмена всегда играло весомую роль в развитии техники. За последние десятилетия сфера интенсивного исследования явлений теплообмена очень расширилась. Она включает в себя такие направление техники как строительное дело, химическая технология, металлургия, машиностроение, агротехника, ракетостроение и т.д. Стоит отметить, что внимание к математическому моделированию сложных физических процессов, в том числе и процесса теплообмена, видно возрос. Этому в значимой мере содействует прогресс в развитии компьютерной техники, численных методов решения всех типов задач математической физики и реализуемых на данной базе математических моделей. Любая современная наукоемкая технология так или иначе использует результаты вычислительных экспериментов. В основных научных центрах развитых стран активно разрабатываются новые численные методы и алгоритмы.
На сегодняшний день существуют множество методов решения нестационарного уравнения теплопроводности. В настоящее время одним из распространённых методов является метод конечных разностей, или, как его еще называют «метод сеток». Традиционные методы математической физики, примером которых служить метод Фурье, дают возможность решать уравнение теплопроводности лишь для частных случаев, когда начальные и граничные условия имеют достаточно простой вид. Впрочем, для построения математических моделей адекватных действительному процессу, необходимо принимать во внимание зависимость от температуры теплофизических характеристик материала, изменение формы тепла, возможность фазовых превращений - это приводит к необходимости использовать приближенные методы расчета. В практике вычислений чаще всего применяется метод сеток, базирующийся на замене производных, входящих в дифференциальное уравнение, разностными отношениями. Конечно-разностный метод интегрирования уравнений в частных производных, считается относительно молодой отраслью прикладного анализа. Первая работа, положившая базу метода сеток, принадлежит немецкому математику К. Рунге и вышла в свет в 1908 г. В дальнейшем ряд авторов применяли метод сеток к различным типам линейных и в том числе нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.
К задачам теплопроводности этот метод был первый раз использован в 1924 году Шмидтом. Одной из важнейших работ в этой области является монография советского математика Ш. Е. Микеладзе [1], вышедшая в свет в 1936 г. С 1932 года начали печататься работы Д. Ю. Панова [2], а в 1938 г. вышла его книга, в которой собраны ценные результаты, имеющиеся в российской и зарубежной литературе. Возможно считать, собственно, что с выходом в свет этих работ задача численного интегрирования уравнений в частных производных получила твердые основания для своего теоретического и практического решения.
В 1955 году возник метод дробных шагов как метод построения экономичных конечно-разностных схем. Данный метод явился ответом на реальную потребность, образовавшуюся в прикладной математике - создание несложных экономичных разностных схем решения сложных многомерных задач теории теплопроводности. Это направление расширялось и углублялось советскими и американскими учеными Дуглас, Рэкфорд, Самарский А.А., Марчук Г.И., Яненко Н.Н. и др. [3].
Стоит отметить, собственно, что в настоящее время одним из универсальных способов построения консервативных схем для неравномерных, криволинейных и даже неструктурированных сеток считается метод контрольных объёмов. Предоставленная работа посвящена как раз этому методу, т.к. одним из ведущих преимуществ является сохранение основных величин по всей области, таких как энергия системы, масса, тепловые потоки даже в случае грубой расчетной сетки.
Цель настоящей работы заключается в разработке методики и программы расчета для моделирования трехмерных теплофизических процессов.
1. Сформулирована математическая модель расчёта трёхмерного распределения температуры в теле произвольного объема.
2. Разработан и реализован на языке C# алгоритм расчёта основанный на методе конечного объёма.
3. Выполнено тестирование программы путём сравнения с аналитическим решением для модельной задачи. Результаты сравнения подтверждают эффективность созданной методики.
4. Проведены расчеты на задаче прогрева цилиндрического заряда.
