Задачи о построении теорий взаимодействующих полей являются очень важными в различных разделах теоретической физики и изучаются длительное время. Результаты решения этих задач используются в Стандартной модели [1] и космологических теориях [2]. Анализ совместности взаимодействий в гамильтоновом формализме со связями осуществляется с помощью алгоритма Дирака-Бергмана [3] и подсчёта числа степеней свободы. Ту же роль при включении взаимодействий в лагранжевом формализме играет процедура Нётер для калибровочных теорий [4]. В случае теорий без калибровочных симметрий, необходимо введение дополнительных Шту- кельберговских полей [5], которые восстанавливают эти симметрии, и позволяют пользоваться процедурой Нётер.
В последнее время активно изучается задача о поиске самодействий в теории массивного векторного поля. Актуальность задачи обуславливается тем, что добавление в теорию взаимодействующего массивного векторного поля в некоторых случаях позволяет лучше описать различные астрофизические и космологические эффекты [6], [7], [8]. Первой работой в которой систематически исследовались самодействия теории Прока была работа Лавинии Гейзенберг[9]. В дальнейших работах этого автора и других [10], [11], [12] исследовались другие возможные обобщения теории Прока. Все эти работы основываются на том, что уравнения движения теории следуют из принципа наименьшего действия. В работе [13] было продемонстрировано, что некоторые лагранжевы вершины самодействия теории массивного векторного поля приводят к уравнениям движения, для которых гиперболичность нарушается за конечный промежуток времени. Была выдвинута гипотеза о том, что все лагранжевы вершины приводят к таким патологиям. Эта проблема мотивирует поиск нелагранжевых вершин самодействия. Алгоритм включения взаимодействий в инволютивной форме был предложен в работе [14]. Этот метод не опирается на лагранжевость уравнений, и является обобщением процеудры Нётер на нелагранжевы уравнения, в которых калибровочные симметрии и тождества между уравнениями инволютивного замыкания не обязательно связаны. В данной работе мы используем этот метод для классификации самодействий в теории массивного векторного поля. В связи с большим объёмом расчётов, большинство вычислений было сделано с помощью системы компьютерной алгебры Cadabra [15], [16]
Работа организована следующим образом. В первом разделе рассмотрена гамильтонова формулировка свободной теории Прока и производится подсчёт степеней свободы. Во втором разделе описан метод включения взаимодействий в инволютивной форме. В третьем разделе рассматриваются квадратичные деформации уравнения Прока, производится классификация всех ковариантных совместных квадратичных вершин. Выделяется подкласс вершин, которые не требуют поправок в высших порядках теории возмущений и являются совместными уже в квадратичном порядке. В третьем разделе аналогичный анализ проводится для кубичных вершин, при этом анзац ограничивается слагаемыми не более чем линейными по второй производной. В таком подклассе вершин содержатся все лагранжевы вершины. В четвёртом разделе рассматриваются квадратичные и кубические вершины, которые могут быть получены из принципа экстремального действия. Показано, что некоторые лагранжевы вершины не были найдены ранее в предыдущих работах. В пятом разделе производится обобщение полученных вершин на произвольный порядок по полям, путём включения в уравнения произвольных функций от полей. Показано, что только одна такая вершина является лагранжевой, остальные шесть являются нелагранжевыми. Заключение резюмирует полученные результаты.
В данной работе используется естественная система единиц h = c = 1. Греческие индексы пробегают значения от 0 до 3. Метрика Минковского имеет в основном положительную сигнатуру. Используются следующие обозначения для тензора напряжённости F^v = B^AV — dvA^ и дуального тензора напряжённости F^v = 2 e^vafi Fав, где е^а/з - абсолютно антисимметричный тензор. Также используется следующее обозначение: д^А^ = (д • A). Симметризация и антисимметризация тензора определена следующим образом: Т(ав) = Tae + Тра, Т[ав] = Та/3 — Тра.
В данной работе были рассмотрены вершины самодействия в теории массивного векторного поля. Были найдены все ковариантные квадратичные вершины. Показано, что с точки зрения теории возмущений существует трёхпараметрическое семейство совместных квадратичных вершин. В кубическом порядке в классе ковариантных вершин, которые содержат вторую производную не более чем линейно, было найдено 30 нетривиальных вершин самодействия. Было показано, что в каждом классе эквивалентности квадратичных вершин существует самосогласованный представитель, при котором не требуется деформации уравнений в высших порядках теории возмущений. Также было показано, что каждая квадратичная вершина может быть совместно продолжена в следующий порядок. Исследовался подкласс лагранжевых вершин, в котором было найдено 3 квадратичных и 12 кубических вершин. Было произведено сравнение с предыдущими работами, в которых исследовались лагранжевы вершины самодействия. Показано, что некоторые из найденных лагранжевых вершин были неизвестны ранее. Наконец было показано, что в случае, когда калибровочный генератор не деформируется и деформация уравнений имеет первый порядок по производным, вершины самодействия допускают обобщение на произвольный порядок по полям. Существует возможность включить в уравнения произвольные функции от полей, по аналогии с Обобщённой теорией Прока. В случае квадратичных и кубических вершин, такое обобщение допускает уравнение с семью произвольными функциями полей, причём только одна из таких вершин является лагранжевой. Проведённый анализ говорит о том, что рассмотрение нелагранжевых вершин позволяет получить больше способов для модификации теории Прока. Также проведённое сравнение с предыдущими работами показывает, что способ включения взаимодействий в инволютивной форме позволяет найти все вершины взаимодействия. Поэтому этот метод может использоваться для полной классификации всех (не-)лагранжевых вершин, в том числе и в более высоких порядках.
