Тема: ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРУППЫ ПО НИЖНЕМУ СЛОЮ

Теория групп - раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства.
У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, - это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп, с другой ветвью абстрактной алгебры - теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.
Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени т, которое имело бы корнями т корней данного уравнения степени n (т < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Иоганн Худде (1659 г.). В 1740 г. Николас Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Эдвард Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.
Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770 - 1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений.
Мы будем изучать слойно конечные группы.
Группа называется слойно конечной, если она имеет конечное число элементов каждого порядка.
Это понятие впервые было введено С. Н. Черниковым в работе [1]. Оно появилось в связи с изучением бесконечных локально конечных ^-групп в случае, когда центр группы имеет конечный индекс в ней. С. Н. Черников в 1948 году [2] описал строение произвольной группы, в которой бесконечно множество элементов каждого порядка, и в этой работе появился термин слойно конечных групп. Основной результат, описывающий строение слойно конечных групп был получен С. Н. Черниковым в 1948 г. в работе [2]. В нем говорится, что группа тогда и только тогда слойно конечна, когда ее можно представить в виде произведения двух поэлементно перестановочных подгрупп, из которых первая является слойно конечной полной абелевой группой, а вторая - слойно конечной группой с конечными силовскими подгруппами.
Слойно конечные группы исследовали С. Н. Черников [1-5], Р. Бэр [6], X. X. Мухамеджан [7,8], Я. Д. Половицкий [9,10]. Теория таких групп в развернутом виде изложена в монографиях [10,11]. Также привел результаты по данному исследованию В. И. Сенатов [12,13] и др.
Как указал С. Н. Черников в математической энциклопедии [14], слойно конечные группы оказались наиболее изученными среди групп с конечными классами сопряженных элементов.
В работе устанавливаются и доказываются результаты о восстановлении по нижнему слою группы информации на ее верхних слоях.
Объектом исследования служит класс бесконечных групп. Целью бакалаврской работы является найти условия, при которых группу можно восстановить по нижнему слою.
В. П. Шунков доказал, что 2-группа, обладающая только одной инволюцией, является либо локально циклической группой (циклической либо квазициклической), либо обобщенной группой кватернионов (конечной или бесконечной) [15].
Теорема Шункова является примером восстановления свойств группы по нижнему слою.
В книге Холла [16] доказана теорема, что конечная р-группа, содержащая только одну подгруппу порядка р, является циклической или обобщенной группой кватернионов.
Не всегда группа однозначно восстанавливается по нижнему слою.
Пример неоднозначного восстановления: в группах Cх Cq,Cqm х CP одинаковый нижний слой. Нижний слой в этих группах состоит из p-1 элемента порядка p и q-1 элемента порядка q. Далее в работе будет исследоваться однозначное восстановление группы по нижнему слою.
Остановимся более подробно на содержании бакалаврской работы.
Работа состоит из трех разделов.
В первом разделе устанавливаются результаты о восстановлении групп по заданному нижнему слою. Приведены результаты восстановления групп по нижнему слою, состоящему из элементов простого порядка, затем из элементов двух простых порядков и, наконец, из произвольного заданного множества элементов простых порядков.
Во втором разделе доказываются теоремы об однозначном восстановлении групп по нижнему слою. В нем рассмотрены различные условия на группы, с помощью которых группа однозначно восстанавливается.
Для удобства читателя имеется специальный третий раздел с определениями специальных терминов и известными результатами, на которые приводятся ссылки при доказательствах теорем.
Купить

В работе получены следующие результаты:
1. Доказаны результаты о восстановлении групп по заданному нижнему слою, состоящему из элементов простого порядка р, затем из элементов двух простых порядков р, q и, наконец, из произвольного заданного множества элементов простых порядков pi, р2, ... , р„.
2. Получены результаты однозначного восстановления групп по нижнему слою.
Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе при изучении курса теории групп.

Купить