Введение 3
1.Основные понятия теории графов 5
2. О построении разностных схем 14
2.1 Сетки и сеточные функции 14
2.2 Метод прогонки 18
3. Постановка задачи и алгоритм решения 21
3.1 Постановка задачи 21
3.2 Исследование аппроксимации разностной схемы 25
3.3 Алгоритм решения 27
4. Результаты расчетов 31
Заключение 38
Литература 40
Приложение А 41
Приложение Б 42
Во многих областях современной науки возникают задачи, включающие в качестве существенного элемента уравнения механики сплошной среды. При решении краевых задач в основном пользуются численными методами, основанными на использовании компьютеров. В отличии от аналитических методов численные методы отличаются большой универсальностью и применимы для исследования широкого класса явлений.
Наиболее популярным методом приближенного решения краевых задач является метод конечных разностей или метод сеток, который состоит в замене непрерывной среды некоторой ее дискретной моделью. При этом физическое пространство аппроксимируется разностной сеткой, а дифференциальные уравнения, описывающие исходную задачу, - конечной системой алгебраических соотношений (разностной схемой). Разностная схема, аппроксимирующая дифференциальную задачу, может быть построена неединственным образом. Поэтому возникает проблема конструирования оптимальных, в определенном смысле, разностных схем. Эффективные разностные схемы и алгоритмы могут быть построены при соответствующей априорной информации об исследуемом объекте.
Качество результатов, полученных с помощью той ил иной разностной схемы, зависит от величины шагов сетки: на мелких сетках разностной схемы “работают ” лучше. Однако, при решении сложных задач применение мелких сеток зачастую не представляется возможным, ибо это приводит к большим затратам машинного времени, даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ. Поэтому важно строить такие схемы, которые сохраняли бы свои “хорошие ” качества на сетках, применяемых в реальных расчетах [1].
Одной из важных задач вычислительной математики является разработка методов решения систем с разреженными матрицами большой размерности. Такие системы возникают, например, при решении систем дифференциальных уравнений[2].
Под одномерными системами понимаются систем эволюционных дифференциальных уравнений, в которых решение зависит от одной пространственной переменнойх и времени t.
С другой стороны под “одномерными системами ” понимаются системы эволюционных систем, появляющиеся тогда, когда системы дифференциальных уравнений задаются не на одном отрезке оси х, а на совокупности отрезков, образующих одномерный клеточный комплекс или граф[3].
Теория графов, являющаяся составной частью логистики, обладает широким разнообразием возможностей ее применения в разных областях знаний. В частности, она является эффективным аппаратом формализации задач экономики. В последнее время теория графов нашла применение в автоматизации управления производством, в календарном и сетевом планировании, при оптимизации размещения производства, при рационализации схем перевозок продукции, при наиболее компактной записи и обработке экономической обработке экономической информации. Основным объектом этой теории является граф.
Чтобы составить наглядное представление о графе, достаточно вообразить некоторое множество точек плоскости или пространства и множество отрезков кривых или прямых линий, соединяющих все или некоторые из этих точек.
Одним из практически наиболее важных и типичных примеров краевой задачи на графе является расчет неустановившегося течения воды в системах речных русел или каналов. К расчету на графе сводится задача о течении газа в трубопроводах, о гемодинамике сердечно- сосудистой системы [4]. В зависимости от структуры графа и матрицы алгебраической системы для решения задач на графе могут быть использованы как прямые методы, так и комбинированные, сочетающие например метод правой прогонки с методом циклической прогонки[5].
Идеи, первоначально развитые для решения уравнений на графах, оказались полезными для построения методов решения очень разнообразных по своему происхождению задач, которые возникают при обработке эмпирической информации, задач идентификации, организации параллельного счета и.т.д.
Цель выпускной работы -математическое моделирование одномерных тепловых процессов на звездном графе.
1. Рассмотрена постановка задачи о теплообмене на звездном графе.
2. Получена аппроксимирующая и устойчивая по начальным данным разностная схема, матрица системы которой не является трехдиагональной. Для решения такой системы предлагается экономичный метод встречных прогонок. Проведено тестирование математической модели и численной схемы с различными параметрами.
3. Результаты расчетов позволяют сделать вывод о том, что предлагаемый способ математического моделирования теплопроводности на системе стержней может быть использован для определения теплового состояния систем стержней, являющихся полным двудольным графом K1in.
