В настоящее время происходит стремительное развитие информационных технологий. Вследствие этого также получают развитие многие научные отрасли, связанные с обработкой и исследованием информации. Но зачастую случаются ситуации, когда катастрофически не хватает информации, а из уже полученных данных нельзя сделать какие - либо значимые выводы. Поэтому нужны надежные способы получения и обработки информации. В этом случае всегда поможет математическое моделирование. Ситуации, в которых может быть использован аппарат математического моделирования, весьма обширны. Что же такое математическое моделирование? Для начала нужно построить некоторую математическую модель, в процессе исследования, которой будет получена информация об интересующем нас явлении. Само математическое моделирование подразумевает под собой, совокупность паттернов, техник построения, подходов к исследованию и анализу, для изучения и создания различных математических моделей.
В своей работе я буду численно решать уравнение переноса примеси и изучать влияние выбранной схемы аппроксимации конвективных слагаемых на результаты численного решения дифференциального уравнения. Уравнение переноса является одним из фундаментальных результатов в математической физике. Уравнение переноса часто используют для разработки, или проверки новых численных методов.
В математической физике предъявляют различные требования к численным методам, главными из них являются:
• высокий порядок аппроксимации (обеспечивает более точное решение на достаточно грубых сетках);
• устойчивость алгоритмов численного решения (позволяет проводить расчеты с большими шагами по времени);
• монотонность (отсутствие осцилляций в области больших градиентов);
• возможность практического распараллеливания вычислений (при использовании несколько процессоров, или видеокарт);
При исследовании применяются различные законы сохранения, которые имеют вид интегральных, или дифференциальных уравнений и описывают перенос примеси за счет конвекции и диффузии. Так как процесс получения аналитического решения этих уравнений весьма трудоемкий, для получения численного решения будет использоваться метод конечного объема.
Основная идея метода конечных объемов, называемого также метод контрольных объемов, заключается в следующем. Пространственная дискретизация осуществляется путем разбиения расчетной области на небольшие соприкасающиеся, но не пересекающиеся элементарные конечные объемы. Дифференциальное уравнение заменяются интегральными балансными соотношениями для каждого элементарного объема. Внутри каждого такого объема находится единственная точка, к которой «привязывают» искомое сеточное решение. После этого интегралы аппроксимируются с использованием значений искомой функции в узлах сетки, или значений производных, взятых из краевых условий. Важно, чтобы для соприкасающихся ячеек интеграл по общей грани вычислялся идентично. Это требование обеспечит консервативность схемы. В результате применения метода конечных объемов получится система линейных алгебраических уравнений, решением которой является вектор значений искомой функции в узлах сетки.
Наиболее доступный способ для решения уравнения переноса - это использование численных методов для получения приближенного решения. Построения разносных схем и их усовершенствование для получение более высокого порядка точности всегда является приоритетной задачей, поскольку получение аналитического решения в общем случае затруднительно. Плюсом высокоточных схем является, то, что полученное решение на грубых сетка будет иметь малую погрешность. В данной работе для решения уравнений переноса использовался метод конечных объемов и различные аппроксимации для конвективных слагаемых. Сравнение решений для одномерного и двумерного уравнения показало, что при использовании противопотоковой схемы сильно размывается профиль решения задачи, использование схемы QUICK для гладкой функции показывает хорошие результаты. Для разрывной функции приводит к появлению осцилляций в точках разрыва. Схема MLU позволяет получить очень близкий результат к аналитическому решению. Рассмотренные методы могут применятся для дальнейшего исследования уравнения переноса, а также для численного решения задач математической физики.
