МОДЕЛИ СИСТЕМ УПОРЯДОЧЕННОГО ОПРОСА С ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ
|
АННОТАЦИЯ 3
Введение 7
1 Пример рассматриваемой системы в реальной жизни 10
2 Описание математической модели системы упорядоченного опроса с повторными вызовами и постановка задачи 11
3 Метод прогулки прибора для системы упорядоченного опроса с повторными вызовами 13
4 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 15
5 Исследование системы упорядоченного опроса с повторными вызовами методом асимптотического анализа 19
5.1 Асимптотика первого порядка 19
5.2 Асимптотика второго порядка 22
6 Построение дискретного распределения, аппроксимирующего стационарное распределение вероятностей числа заявок на орбите 30
7 Имитационная модель системы с прогулками прибора 32
7.1 Модельное время и события системы 32
7.2 Основные объекты системы и их взаимодействие 33
7.3 Основные объекты системы и их взаимодействие 38
7.4 Инструменты реализации имитационной модели 42
7.5 Интерфейс приложения 43
8 Сравнение аналитических результатов с результатами работы имитационной модели 48
Заключение 54
Список использованных источников и литературы 56
Введение 7
1 Пример рассматриваемой системы в реальной жизни 10
2 Описание математической модели системы упорядоченного опроса с повторными вызовами и постановка задачи 11
3 Метод прогулки прибора для системы упорядоченного опроса с повторными вызовами 13
4 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 15
5 Исследование системы упорядоченного опроса с повторными вызовами методом асимптотического анализа 19
5.1 Асимптотика первого порядка 19
5.2 Асимптотика второго порядка 22
6 Построение дискретного распределения, аппроксимирующего стационарное распределение вероятностей числа заявок на орбите 30
7 Имитационная модель системы с прогулками прибора 32
7.1 Модельное время и события системы 32
7.2 Основные объекты системы и их взаимодействие 33
7.3 Основные объекты системы и их взаимодействие 38
7.4 Инструменты реализации имитационной модели 42
7.5 Интерфейс приложения 43
8 Сравнение аналитических результатов с результатами работы имитационной модели 48
Заключение 54
Список использованных источников и литературы 56
В 20-м веке теория массового обслуживания взяла своё начало в качестве инструмента для решения практических задач, которые возникают в реальных телекоммуникационных, производственных, экономических и других системах, которые предназначены для обеспечения удовлетворения большого объема запросов на выполнение любого рода услуг.
Основоположником теории массового обслуживания является ученый А. Эрланг, который в начале 20-го века являлся сотрудником телефонной компании. В период работы Эрланг столкнулся с задачей определения оптимального числа телефонных операторов, которое необходимо для обслуживания указанного объема звонков. В 1909 году ученый доказал, что поток телефонных звонков подчиняется Пуассоновскому распределению [1].
В середине 20-го века работы математика А. Я. Хинчина [2] оказали большое влияние на теорию массового обслуживания. Математик ввёл и начал использовать термин «теория массового обслуживания» [3].
Со временем всё большую роль стали играть телекоммуникационные системы, такие как компьютерные и телефонные сети, системы передачи данных, телевидение, а также мобильная связь [4]. Описанные системы являются системами массового обслуживания [5, 6, 7, 8], так как они нацелены на удовлетворение массовых запросов на выполнение любого рода услуг. Модели call-центров и принципы их работы описаны во многих источниках [9, 10].
В отличие от классических систем массового обслуживания, для телекоммуникационных систем является характерной ситуация, когда заявка, которая обнаруживает обслуживающий прибор занятым, не встает в очередь, а уходит на орбиту, где она находится некоторое время, после чего вновь пытается попасть на прибор. Модели такого рода описываются в виде систем массового обслуживания с повторными вызовами. Г.И Фалин [11] подробно рассматривал системы с повторными вызовами в своей работе.
Для систем массового обслуживания с повторными вызовами получить аналитические результаты можно только при рассмотрении достаточно простых случаев. Системы с повторными вызовами, которые имеют достаточно сложную структуру, в основном, исследуются численными методами или с помощью асимптотического анализа [12]. Исследование систем с повторными вызовами в условии большой задержки заявок на орбите подробно описано в работах А. А. Назарова [13]. Также исследования различных систем с повторными вызовами можно найти и в других источниках [14, 15, 16, 17].
В данной дипломной работе рассматриваются системы упорядоченного опроса с повторными вызовами. Для исследования используется метод асимптотического анализа [18].
Целью данной работы является исследование математической модели телекоммуникационной сети связи в виде системы упорядоченного опроса с повторными вызовами и проверка полученных аналитических результатов при помощи разработанного приложения для имитационного моделирования.
Задачи исследования:
1) Построить математическую модель телекоммуникационной сети связи в виде системы упорядоченного опроса с повторными вызовами;
2) Исследовать математическую модель методом перехода к системе с прогулками прибора и методом асимптотического анализа;
3) Спроектировать и реализовать имитационную модель системы с прогулками;
4) Оценить применимость полученного асимптотического решения на базе результатов имитационного моделирования.
Изучая и работая с системами массового обслуживания, мы сможем легко смоделировать любой процесс, что позволит спрогнозировать работу рассматриваемой системы.
В первой главе приведены примеры рассматриваемой системы. Вторая глава содержит описание математической модели и постановку задачи. В третьей главе описан метод прогулки прибора для системы упорядоченного опроса с повторными вызовами. В четвертой главе показан вывод системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа заявок на орбите. В пятой главе содержится нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите методом асимптотического анализа. Шестая глава содержит результаты построения дискретного распределения, аппроксимирующего стационарное распределение вероятностей числа заявок на орбите. Седьмая глава посвящена проектированию и реализации десктопного приложения имитационной модели исследуемой системы для получения эмпирического распределения числа заявок на орбите. В восьмой главе приведен анализ области применимости асимптотического распределения числа заявок на орбите с помощью результатов, полученных методом имитационного моделирования.
Основоположником теории массового обслуживания является ученый А. Эрланг, который в начале 20-го века являлся сотрудником телефонной компании. В период работы Эрланг столкнулся с задачей определения оптимального числа телефонных операторов, которое необходимо для обслуживания указанного объема звонков. В 1909 году ученый доказал, что поток телефонных звонков подчиняется Пуассоновскому распределению [1].
В середине 20-го века работы математика А. Я. Хинчина [2] оказали большое влияние на теорию массового обслуживания. Математик ввёл и начал использовать термин «теория массового обслуживания» [3].
Со временем всё большую роль стали играть телекоммуникационные системы, такие как компьютерные и телефонные сети, системы передачи данных, телевидение, а также мобильная связь [4]. Описанные системы являются системами массового обслуживания [5, 6, 7, 8], так как они нацелены на удовлетворение массовых запросов на выполнение любого рода услуг. Модели call-центров и принципы их работы описаны во многих источниках [9, 10].
В отличие от классических систем массового обслуживания, для телекоммуникационных систем является характерной ситуация, когда заявка, которая обнаруживает обслуживающий прибор занятым, не встает в очередь, а уходит на орбиту, где она находится некоторое время, после чего вновь пытается попасть на прибор. Модели такого рода описываются в виде систем массового обслуживания с повторными вызовами. Г.И Фалин [11] подробно рассматривал системы с повторными вызовами в своей работе.
Для систем массового обслуживания с повторными вызовами получить аналитические результаты можно только при рассмотрении достаточно простых случаев. Системы с повторными вызовами, которые имеют достаточно сложную структуру, в основном, исследуются численными методами или с помощью асимптотического анализа [12]. Исследование систем с повторными вызовами в условии большой задержки заявок на орбите подробно описано в работах А. А. Назарова [13]. Также исследования различных систем с повторными вызовами можно найти и в других источниках [14, 15, 16, 17].
В данной дипломной работе рассматриваются системы упорядоченного опроса с повторными вызовами. Для исследования используется метод асимптотического анализа [18].
Целью данной работы является исследование математической модели телекоммуникационной сети связи в виде системы упорядоченного опроса с повторными вызовами и проверка полученных аналитических результатов при помощи разработанного приложения для имитационного моделирования.
Задачи исследования:
1) Построить математическую модель телекоммуникационной сети связи в виде системы упорядоченного опроса с повторными вызовами;
2) Исследовать математическую модель методом перехода к системе с прогулками прибора и методом асимптотического анализа;
3) Спроектировать и реализовать имитационную модель системы с прогулками;
4) Оценить применимость полученного асимптотического решения на базе результатов имитационного моделирования.
Изучая и работая с системами массового обслуживания, мы сможем легко смоделировать любой процесс, что позволит спрогнозировать работу рассматриваемой системы.
В первой главе приведены примеры рассматриваемой системы. Вторая глава содержит описание математической модели и постановку задачи. В третьей главе описан метод прогулки прибора для системы упорядоченного опроса с повторными вызовами. В четвертой главе показан вывод системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа заявок на орбите. В пятой главе содержится нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите методом асимптотического анализа. Шестая глава содержит результаты построения дискретного распределения, аппроксимирующего стационарное распределение вероятностей числа заявок на орбите. Седьмая глава посвящена проектированию и реализации десктопного приложения имитационной модели исследуемой системы для получения эмпирического распределения числа заявок на орбите. В восьмой главе приведен анализ области применимости асимптотического распределения числа заявок на орбите с помощью результатов, полученных методом имитационного моделирования.
В настоящей работе была исследована система упорядоченного опроса с повторными вызовами, для исследования был выбран метод перехода к системе с прогулками.
Методом асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите были получено асимптотически гауссовские дискретные распределения вероятностей числа заявок на орбите и проведено сравнение этих аппроксимаций с результатами имитационного моделирования. Показана достаточно высокая точность предложенной аппроксимации в условии функционирования системы при большой задержке заявок в выделенной орбите.
По материалам исследований были сделаны доклады на следующих конференциях:
1. Международная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 25-30мая 2020 г.
2. VIII-я Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-30мая 2021 г.
3. XXIII-я Международная научная конференция «Distributed computer and communication networks: control, computation, communications» (DCCN-2020). Москва, 14-18 сентября 2020 г.
Результаты исследования были опубликованы:
1. Ключникова П.Н., Пауль С.В. Исследование циклической системы с повторными вызовами //Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем: материалы
Международной научной конференции, Томск, 28-30 мая 2020 г. Томск: Изд- во Том. ун-та, 2020. С. 270-277.
2. Назаров А.А., Пауль С.В., Ключникова П.Н. Исследование циклической системы с повторными вызовами //Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2020) Distributed computer and communication networks: control, computation, communications (DCCN-2020): материалы XXIII Международной научной конференции, 14-18 сентября 2020 г., Москва. М.: ИПУ РАН, 2020. С. 540-547.
Методом асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите были получено асимптотически гауссовские дискретные распределения вероятностей числа заявок на орбите и проведено сравнение этих аппроксимаций с результатами имитационного моделирования. Показана достаточно высокая точность предложенной аппроксимации в условии функционирования системы при большой задержке заявок в выделенной орбите.
По материалам исследований были сделаны доклады на следующих конференциях:
1. Международная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 25-30мая 2020 г.
2. VIII-я Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 26-30мая 2021 г.
3. XXIII-я Международная научная конференция «Distributed computer and communication networks: control, computation, communications» (DCCN-2020). Москва, 14-18 сентября 2020 г.
Результаты исследования были опубликованы:
1. Ключникова П.Н., Пауль С.В. Исследование циклической системы с повторными вызовами //Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем: материалы
Международной научной конференции, Томск, 28-30 мая 2020 г. Томск: Изд- во Том. ун-та, 2020. С. 270-277.
2. Назаров А.А., Пауль С.В., Ключникова П.Н. Исследование циклической системы с повторными вызовами //Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2020) Distributed computer and communication networks: control, computation, communications (DCCN-2020): материалы XXIII Международной научной конференции, 14-18 сентября 2020 г., Москва. М.: ИПУ РАН, 2020. С. 540-547.
