Аннотация 3
Введение 2
2 Фундаментальная группа и сингулярные гомологии 3
3 Фундаментальная группа зацеплений в трехмерной сфере 7
4 Перестройки вдоль узлов 11
5 Гомологическая сфера Пуанкаре 17
6 Фундаментальная группа зацеплений в гомологической сфере Пуанкаре 21
7 Многочлен Александера 24
8 Пример вычисления фундаментальной группы и полинома Александера 28
9 Заключение 31
Топология занимается изучением самых элементарных свойств пространства, которые сохраняются при непрерывных деформациях. В частности, изучением топологических свойств многообразий - пространств, локально устроенных как евклидово пространство.
Алгебраическая топология занимается построением алгебраических инвариантов топологических пространств, посредством сопоставления им алгебраических структур - групп, колец и т.д. и последующим извлечением топологической информации из их строения. Примерами таких инвариантов могут служить группы гомологий или фундаментальная группа, которые инварианты при гомеоморфизмах. При этом из изоморфизма групп вовсе не следует гомеоморфность пространств.
Одним из примеров, показывающих это, является гомологическая сфера Пуанкаре, которая может быть построена перестройкой по левому трилистнику с оснащением -1[4, Прасолов стр. 164]. Примечательное свойство этого пространства заключается в том, что оно обладает нетривиальной фундаментальной группой, но при этом тривиальной первой группой гомологий. Исторически оно послужило контрпримером к предположению о том, что гипотезу Пуанкаре можно ослабить с тривиальности фундаментальной группы до тривиальности первой группы гомологий. То есть, оказывается, что гомологии не могут отличить стандартную трехмерную сферу от гомологической сферы Пуанкаре.
Классическая теория узлов занимается гладкими вложениями окружности в евклидово трехмерное пространство или в трехмерную сферу, а также инвариантами таких отображений. Дополнение узла является трехмерным многообразием и его можно исследовать методами алгебраической топологии.
Узлы в произвольных трехмерных многообразиях исследованы не так хорошо и открытой задачей является обобщение классических инвариантов. Одним из таких инвариантов является многочлен Александера. Для таких многообразий, как линзовые пространства[2, Ева] или трехмерный тор[1, Бао] были построены его обобщения. В данной работе был описан метод вычисления фундаментальной группы дополнения для зацеплений в гомологической сфере Пуанкаре, основанный на смешанной диаграмме. Зная её и используя свободное исчисление Фокса был построен многочлен Александера. А также проведено вычисление многочлена Александера для конкретного узла в гомологической сфере Пуанкаре. Результат был проверен посредством вычисления альтернативным методом.
Была описана фундаментальная группа дополнения произвольного зацепления в гомологической сфере Пуанкаре через порождающие элементы и соотношения на основе смешанной диаграммы. Благодаря этому была вычислена первая группа гомологий дополнения зацепления. Был построен полином Александера произвольного зацепления. Для конкретного узла были проведены вычисления многочлена Александера. После проведена проверка альтернативным методом, использующим поверхности Зейферта
