ВВЕДЕНИЕ 3
1 Сеточные функции на графах логистики 5
1.1 Орграф сетевого планирования и управления (СПУ) 7
1.2 О расчете потоков в сетях 14
2 Математическое моделирование сигналов на сеточных графах методом
Фурье 19
2.1 Основные характеристики сигналов 19
2.2 Амплитудный и фазовый спектр сигнала 27
2.3 Дискретное преобразование Фурье 34
3 Вейвлет-анализ дискретных сигналов на сеточных графах 37
3.1 Основные характеристики вейвлетов Хаара 38
3.2 Базисные функции сплайнов и вейвлетов 48
3.3 О масштабирующих функциях вейвлетов 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 62
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 63
Общество в своем развитии через некоторые промежутки времени постоянно преодолевает переломные моменты, в результате которых появлялся новый спектр возможностей. Так, например, одним из первых таких моментов было изобретение колеса, затем создание паровой машины и дорог (авто, ж/д), развитие коммуникаций, и, наконец, в середине XX века произошел очередной прорыв - создание компьютеров, что существенно изменило интеллектуальные возможности человека. Социолог Э. Тоффлер выделяет три волны цивилизации: сельскохозяйственную, индустриальную и третью, которую он называет информационной [1]. Периоды времени между волнами постепенно сокращаются: тысячелетия для первой волны, 300 лет для второй. Третья волна, по оценке Тоффлера, полностью сменит вторую к 2025 году. Поэтому в XXI веке в обществе немаловажную роль будут играть знания человека об информации, способе ее хранения, анализа, обработки и получения нового знания. Суперкомпьютерные технологии становятся одним из решающих факторов научно-технического прогресса наступившего века и являются таким же стимулом развития общества, как ранее авиация, ракетная техника и космонавтика. Четвертая промышленная революция выходит из третьей («цифровой»), которая началась в середине прошлого века. Она характеризуется слиянием технологий и стиранием граней между физическими, цифровыми и биологическими сферами. Поэтому важная роль отводится теориям и методам применимым для широкого класса разнообразных задач [2]. Теория графов одна из таких областей знаний [3].
Граф - это наглядный образ, который дает максимум пространственных и структурных представлений, является одним из гибких математических объектов, способных легко приспосабливаться под любую конкретную модель. Графами представляются схемы авиалиний и 3
схемы метро, нейронные сети и железные дороги. В виде графов можно изображать химические молекулы и отношения между людьми, электронные схемы и информационную структуру алгоритмов. Свойства и алгоритмы теории графов используются в поисковых системах, таких, как Yandex и Google , обработке изображений, а также при решении задач логистики, гемодинамики и управления рисками. Большинство численных методов решения краевых задач основаны на моделировании непрерывной области изменения независимых переменных связным графом (регулярной или нерегулярной сеткой).
Анализ сеточных функций на графах постоянно расширяет область своего практического применения в задачах цифровой обработки сигналов и изображений. Для решения таких задач в 20 веке активно использовался анализ Фурье, а в конце прошлого века появился вейвлет-анализ, который включает в себя положительные качества метода Фурье и локальных базисных сплайнов [4]. Освоение и практическое использование вейвлет- технологий является актуальной науки и практики.
1. В работе рассмотрены методы анализа сеточных функций на графах логистики и сигналов.
2. На основе математического моделирования сигналов на сеточных графах методом Фурье проведен анализ амплитудного и фазового спектра некоторых сигналов.
3. Рассмотрены основные понятия вейвлет-анализа нестационарных сигналов. Анализируются свойства масштабирующих функций, вейвлетов Хаара, материнских вейвлетов и базисных сплайнов. Приводятся примеры применения вейвлет-анализа.
4. Результаты работы будут использоваться в спецкурсе "Сплайны и вейвлеты сеточных функций".
