Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 7
1 Модель процесса периодической авторегрессии первого порядка с периодом
модели два 10
2 Последовательное оценивание параметров модели периодической
авторегрессии 14
2.1 Последовательное оценивание параметров модели периодической
авторегрессии со стандартными нормальными шумами 14
2.2 Последовательное оценивание параметров модели периодической
авторегрессии с нормальными шумами и переменной дисперсией 20
3 Моделирование и анализ последовательных оценок 28
3.1 Моделирование процесса периодической авторегрессии первого
порядка со стандартными нормальными шумами 28
3.2 Моделирование процесса периодической авторегрессии первого
порядка с нормальными шумами с переменной дисперсией 34
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 51
ПРИЛОЖЕНИЕ А Программная реализация 53
В прикладных задачах часто рассматривается некоторый процесс, изменяющийся во времени, поведение которого неизвестно и является случайным. Подобный процесс может хорошо описываться некоторым стохастическим динамическим дифференциальным или разностным уравнением, или же системой таких стохастических дифференциальных или разностных уравнений. Соответственно, появляется задача оценки параметров подобных динамических систем статистическими методами с целью исследования свойств случайной выборки. Оценки параметров могут быть точечными или интервальными. Но кроме этого метод оценивания может отличаться подходом взятия случайной выборки из распределения. То есть правилом, определения размера выборки.
Существует два подхода взятия случайной выборки. В первом случае случайная выборка берётся фиксированного заранее определённого объёма. Во втором случае объём случайной выборки также является случайным, наблюдения добавляются к случайной выборке по одному или сериями и объём выборки определяется некоторым моментом остановки. В этом случае говорят о методах статистического последовательного анализа. Преимуществами этого метода являются возможность получить оценки параметров некоторой динамической системы с гарантированным качеством, а также возможность выбрать оптимальный объём выборки в смысле минимизации функции риска, зависящей от уклонения последовательной оценки от своего истинного значения и штрафов за число использованных наблюдений, составляющих случайную выборку. В особенности задачи этого подхода будут рассматриваться в данной работе, хотя будут рассмотрены и непоследовательные оценки, полученные методом наименьших квадратов. В задачи этого подхода входит изучение свойств случайной величины - момента остановки, в частности его распределения, а также свойства и распределение самих последовательных оценок параметров стохастической динамической системы, описываемой системой стохастических дифференциальных или стохастических разностных уравнений. Подобная информация о распределении последовательной оценки динамической системы может быть полезна в рассмотрении качества этих оценок. В частности, в рассмотрении уклонения последовательной оценки от истинного значения параметра.
На практике многие наблюдаемые процессы хорошо описываются моделью авторегрессии, то есть моделью, в которой состояние динамической системы в данный момент времени линейно зависит от предыдущих состояний этой же динамической системы. Часто временные ряды, которые плохо описываются авторегрессионной моделью, при некоторой модификации значений временного ряда (например, логарифмировании, потенциировании или рассмотрении приращений временного ряда некоторого порядка) значительно лучше накрываются этой моделью.
Однако классическая авторегрессионная модель не учитывает сезонность в полной мере, так как её параметры постоянны и не меняются со временем, от этого её применение весьма ограничено. Этого недостатка лишена более общая модель авторегрессионного типа. Речь идёт о модели периодической авторегресии, параметры в которой меняются во времени на каждом шаге, но повторяются через некоторый период времени. Подобные модели могут применяться в анализе различных временных рядов, в которых наблюдается выраженная сезонность. Например, в финансах (котировки акций, облигаций, опционов и фьючерсов на сырьевые товары и финансовые активы и других производных финансовых инструментов), экономике, социологии, логистике, метеорологии, гидрологии, геологии и многих других областях науки и техники.
Стоит сказать несколько слов о монографиях и журнальных статьях, рассматривающих теоретические аспекты используемых здесь моделей и методов. С последовательным статистическим анализом можно ознакомиться в работах Конева [1], [5], [6], Конева и Воробейчикова [14], [15] и Ширяева [9]. С процессом периодической авторегрессии можно ознакомиться в работе Трутмэна [12]. С ядерной оценкой функции плотности можно ознакомиться в монографии Васильева, Добровидова, Кошкина [4], работе Розенблата [16] и работе Сильвермана [17].
В процессе работы было сделано следующее:
1. Рассмотрена модель стохастической динамической системы - процесса периодической авторегрессии первого порядка с периодом два, описываемого с помощью системы стохастических разностных уравнений. Для неё было получено решение системы стохастических разностных уравнений в явном виде.
2. Для параметров модели процесса периодической авторегрессии первого порядка с периодом два были построены обычные непоследовательные оценки методом наименьших квадратов.
3. Для параметров модели процесса периодической авторегрессии первого порядка с периодом два были построены последовательные оценки.
4. Для последовательных оценок было записано неасимптотическое распределение в случаях стандартных нормальных шумов и в случае нормальных шумов с меняющейся дисперсией.
5. Замоделированы процессы периодической авторегрессии первого порядка с периодом два для случаев стандартных нормальных шумов, нормальных шумов с постоянной, растущей и убывающей дисперсией. Для реализаций всех этих случайных процессов были построены графики.
6. Замоделированы множества реализаций случайного процесса периодической авторегрессии первого порядка с периодом два для случаев стандартных нормальных шумов, нормальных шумов с постоянной, растущей и убывающей дисперсией.
7. По этим реализациям построены последовательные оценки параметров.
8. Построены ядерные оценки функции плотности для последовательных оценок и построены графики в сравнении со стандартным нормальным распределением.
9. Были проверены гипотезы о нормальности распределений последовательных оценок.
