Введение 3
1. Основные определения и теоремы 5
1.1. Предварительные сведения 5
1.2. Элементы теории меры 11
1.3. Построение оценок (идентификация моделей) 13
2. Постановка задачи. Построение последовательной оценки 21
3. Основной результат 23
4. Имитационное моделирование 26
Заключение 32
Список литературы 33
Приложения
В задачах обработки временных рядов, идентификации, прогнозирования и управления в динамических системах широко используются модели с непрерывным временем, описываемые стохастическими дифференциальными и стохастическими разностными уравнениями. Чаще всего параметры этих уравнений неизвестны, и решению основных задач фильтрации, прогнозирования, управления обычно предшествует этап идентификации, заключающийся в оценивании неизвестных параметров. Поэтому оценивание параметров - одна из наиболее актуальных задач современного стохастического анализа.
Для идентификации параметров имеется немало различных методов (метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов и другие), однако в случае зависимых наблюдений эти оценки являются нелинейными функциями, что создает сложности в исследовании их свойств.
Наиболее изучены в теории идентификации асимптотические свойства оценок, полученных в предположении, что процесс наблюдения динамической системы может продолжаться достаточно долго. При практическом использовании оценок обычно исходят из того, что для малых и умеренных объемов данных свойства оценок несущественно отличаются от асимптотических. Однако это условие выполняется не всегда и может приводить к ошибочным выводам.
Поскольку в практических задачах объем доступных данных всегда конечен, и стоит задача определения качества оценок, вычисленных по наблюдениям на ограниченном временном интервале, то в таких задачах успешно применяется последовательный анализ. Он характеризуется тем, что длительность наблюдений заранее не фиксируется, а определяется по специальным правилам накопления данных.
Метод последовательного оценивания был предложен Липцером и Ширяевым [5] для оценки параметра 0 процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением вида
dXt = 0ft(X)dt + dWt,
по наблюдениям процессов Xt и ft (здесь Wt - стандартное броуновское движение).
Ими было предложено в оценке максимального правдоподобия
fs(X)dXs заменить детерминированный промежуток наблюдений [0, Т] на промежуток случайной
длины [0, т(Я)], где
_ J г' .
т(Н) = f Т > 0: I fs2(X)ds = Н >,
и в качестве оценки неизвестного параметра 0 использовать последовательную оценку максимального правдоподобия, определенную равенством:
т(Н)
Зи(Х)=11 ft(X)dXt.
0
Как оказалось, предложенная ими оценка обладает очень хорошими свойствами. Она является нормальной, несмещенной и ее среднеквадратическая погрешность не превышает 1.
н
Однако, в случае, когда количество параметров превышает размерность процесса, такого красивого аналога построить не удается. В этом направлении были сделаны следующие продвижения:
• Коневу и Пергаменщикову удалось построить двухэтапную последовательную процедуру (без учета априорной информации об области параметров) для произвольных моделей регрессионного типа [3,4];
• Коневу и Емельяновой удалось построить более простую процедуру (одноэтапную), но с учетом априорной информации [2].
Цель нашей работы - предложить последовательную процедуру получения оценок с неасимптотическим нормальным распределением для любых возможных значений параметров двухпараметрической модели.
Одна из центральных задач статистического анализа реальной системы заключается в вычислении (на основании имеющихся статистических данных) как можно более точных приближенных значений - статистических оценок - для одного или нескольких числовых параметров, характеризующих функционирование этой системы.
Приведем выводы и основные результаты проделанной работы.
Были изучены основы статистики случайных процессов, теории меры, теории оценивания параметров, а так же основы последовательного анализа.
Предложена новая последовательная процедура, позволяющая получить оценки параметров авторегрессионной модели второго порядка имеющие нормальное распределение. Последовательный метод оценивания параметров позволяет получить оценки с гарантированным качеством в среднеквадратическом смысле за конечное время. Время оценивания определяется правилом остановки, построенным по наблюдаемому процессу. Кроме того, это позволяет строить доверительные интервалы с достаточно большой точностью. Процедура предполагает некоторую модификацию выборочной информационной матрицы Фишера, а также введение двух моментов остановки, построенных по этой матрице.
Изучено одно из свойств оценок неизвестных параметров авторегрессионной модели второго порядка, а именно исследование длительности процедуры оценивания.
Проведено численное моделирования для вычисления моментов остановки, численная реализация процедуры оценивания параметров авторегрессионной модели второго порядка и численное подтверждение изученного свойства. Это свидетельствует о хорошем согласии практических результатов с теоретическими
