Тема: О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ НЕПРЕРЫВНОЙ АВТОРЕГРЕССИИ

В задачах обработки временных рядов, идентификации, прогнозирования и управления в динамических системах широко используются модели с непрерывным временем, описываемые стохастическими дифференциальными и стохастическими разностными уравнениями. Чаще всего параметры этих уравнений неизвестны, и решению основных задач фильтрации, прогнозирования, управления обычно предшествует этап идентификации, заключающийся в оценивании неизвестных параметров. Поэтому оценивание параметров - одна из наиболее актуальных задач современного стохастического анализа.
Для идентификации параметров имеется немало различных методов (метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов и другие), однако в случае зависимых наблюдений эти оценки являются нелинейными функциями, что создает сложности в исследовании их свойств.
Наиболее изучены в теории идентификации асимптотические свойства оценок, полученных в предположении, что процесс наблюдения динамической системы может продолжаться достаточно долго. При практическом использовании оценок обычно исходят из того, что для малых и умеренных объемов данных свойства оценок несущественно отличаются от асимптотических. Однако это условие выполняется не всегда и может приводить к ошибочным выводам.
Поскольку в практических задачах объем доступных данных всегда конечен, и стоит задача определения качества оценок, вычисленных по наблюдениям на ограниченном временном интервале, то в таких задачах успешно применяется последовательный анализ. Он характеризуется тем, что длительность наблюдений заранее не фиксируется, а определяется по специальным правилам накопления данных.
Метод последовательного оценивания был предложен Липцером и Ширяевым [5] для оценки параметра 0 процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением вида
dXt = 0ft(X)dt + dWt,
по наблюдениям процессов Xt и ft (здесь Wt - стандартное броуновское движение).
Ими было предложено в оценке максимального правдоподобия
fs(X)dXs заменить детерминированный промежуток наблюдений [0, Т] на промежуток случайной
длины [0, т(Я)], где
_ J г' .
т(Н) = f Т > 0: I fs2(X)ds = Н >,
и в качестве оценки неизвестного параметра 0 использовать последовательную оценку максимального правдоподобия, определенную равенством:
т(Н)
Зи(Х)=11 ft(X)dXt.
0
Как оказалось, предложенная ими оценка обладает очень хорошими свойствами. Она является нормальной, несмещенной и ее среднеквадратическая погрешность не превышает 1.
н
Однако, в случае, когда количество параметров превышает размерность процесса, такого красивого аналога построить не удается. В этом направлении были сделаны следующие продвижения:
• Коневу и Пергаменщикову удалось построить двухэтапную последовательную процедуру (без учета априорной информации об области параметров) для произвольных моделей регрессионного типа [3,4];
• Коневу и Емельяновой удалось построить более простую процедуру (одноэтапную), но с учетом априорной информации [2].
Цель нашей работы - предложить последовательную процедуру получения оценок с неасимптотическим нормальным распределением для любых возможных значений параметров двухпараметрической модели.

Купить

Одна из центральных задач статистического анализа реальной системы заключается в вычислении (на основании имеющихся статистических данных) как можно более точных приближенных значений - статистических оценок - для одного или нескольких числовых параметров, характеризующих функционирование этой системы.
Приведем выводы и основные результаты проделанной работы.
Были изучены основы статистики случайных процессов, теории меры, теории оценивания параметров, а так же основы последовательного анализа.
Предложена новая последовательная процедура, позволяющая получить оценки параметров авторегрессионной модели второго порядка имеющие нормальное распределение. Последовательный метод оценивания параметров позволяет получить оценки с гарантированным качеством в среднеквадратическом смысле за конечное время. Время оценивания определяется правилом остановки, построенным по наблюдаемому процессу. Кроме того, это позволяет строить доверительные интервалы с достаточно большой точностью. Процедура предполагает некоторую модификацию выборочной информационной матрицы Фишера, а также введение двух моментов остановки, построенных по этой матрице.
Изучено одно из свойств оценок неизвестных параметров авторегрессионной модели второго порядка, а именно исследование длительности процедуры оценивания.
Проведено численное моделирования для вычисления моментов остановки, численная реализация процедуры оценивания параметров авторегрессионной модели второго порядка и численное подтверждение изученного свойства. Это свидетельствует о хорошем согласии практических результатов с теоретическими
Купить