РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА ДЛЯ ПОИСКА ЭНЕРГИЙ СВЯЗИ ТРЁХЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ
|
Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 4
1. УРАВНЕНИЕ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА 10
1.1. СВЯЗЬ Т-МАТРИЦЫ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ РЕАКЦИИ 11
1.2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА 12
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА 17
2.1. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА ДЛЯ
СЕПАРАБЕЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА 17
2.3. МЕТОД ОБРАЩЕНИЯ МАТРИЦЫ 19
2.4. МЕТОД ПАДЕ-АППРОКСИМАНТОВ 20
2.5. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РЕЗОНАНСОВ В ДВУХЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМАХ 21
3. УРАВНЕНИЕ ФАДДЕЕВА 26
3.1. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА 27
3.2. УРАВНЕНИЕ ФАДДЕЕВА ОТНОСИТЕЛЬНО Т-МАТРИЦЫ 29
3.3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА ДЛЯ ТРЁХ ТЕЛ РАЗНОЙ МАССЫ С
ПРЯМЫМ ЧИСЛЕННЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ 30
4. РЕЗУЛЬТАТЫ 34
ЛИТЕРАТУРА 40
ВВЕДЕНИЕ 4
1. УРАВНЕНИЕ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА 10
1.1. СВЯЗЬ Т-МАТРИЦЫ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ РЕАКЦИИ 11
1.2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА 12
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА 17
2.1. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИППМАНА-ШВИНГЕРА ДЛЯ
СЕПАРАБЕЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА 17
2.3. МЕТОД ОБРАЩЕНИЯ МАТРИЦЫ 19
2.4. МЕТОД ПАДЕ-АППРОКСИМАНТОВ 20
2.5. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РЕЗОНАНСОВ В ДВУХЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМАХ 21
3. УРАВНЕНИЕ ФАДДЕЕВА 26
3.1. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ФАДДЕЕВА 27
3.2. УРАВНЕНИЕ ФАДДЕЕВА ОТНОСИТЕЛЬНО Т-МАТРИЦЫ 29
3.3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФАДДЕЕВА ДЛЯ ТРЁХ ТЕЛ РАЗНОЙ МАССЫ С
ПРЯМЫМ ЧИСЛЕННЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ 30
4. РЕЗУЛЬТАТЫ 34
ЛИТЕРАТУРА 40
Изучение свойств лёгких ядер, таких как тритий и гелий-3, представляет собой важную задачу современной ядерной физики, поскольку описание их характеристик служит тестом для сравнения различных методов малочастичной физики, а двухчастичных экспериментальных данных недостаточно для полного понимания всех особенностей парного нуклон-нуклонного (NN) взаимодействия. Движение частицы в эффективном поле и задача о взаимодействии многих тел - это разные подходы, отличающиеся используемыми методами и целями. Для задач поиска энергий связи систем, в которых ответ заранее не известен или эксперименты противоречивы преимущественно использовать методы максимально свободные от неконтролируемых параметров, в том числе от приближённого рассмотрения динамики как движения в эффективном поле. Ряд таких методов, основанных на точной трактовке динамики нескольких тел [1, 2, 3] предсказывает [4, 5] эффекты, которые просто отсутствуют в контексте двухчастичных рассмотрений.
Поиск энергий связи простейших трёхчастичных ядер с реалистичными NN потенциалами, с помощью решения однородных уравнений Фаддеева, систематически сталкивается [6, 7, 8, 9] с необходимостью учитывать дополнительное по отношению к NN потенциалу трёхчастичное взаимодействие. Как следует из анализа экспериментальных данных, представленных в обзорах [10] и диссертации [11], значения нейтрон-нейтронной длины рассеяния апп демонстрируют значительный разброс: от -14 до -25 фм. Наиболее надёжные значения получены в реакции радиационного захвата остановившихся пионов n~ + d^y + n + n, где влияние трёхнуклонных сил минимально, и значение апп = -18.63 ± 0.48 фм считается наиболее корректным. В то же время, в реакциях типа n+d^n+n+p при энергиях нейтронов 13-40 МэВ, где вклад трёхнуклонных сил (3NF) становится существенным, средневзвешенное значение составляет апп = -16.6 ± 0.5 фм. Разница между этими величинами (~2 фм) обычно интерпретируется как чистый вклад 3NF. Что касается протон-протонной длины рассеяния арр, то её значение составляет -17.3±0.4 фм, а разница апп — арр « -1.3 -—4.9 фм указывает на проявления нарушения зарядовой симметрии (CSB), связанное с кулоновским взаимодействием в системе pp. Таким образом, анализ разброса длин рассеяния позволяет не только оценить вклад 3NF, но и выделить эффекты нарушения изоспиновой инвариантности. Как показано в работе [9], строгие решения уравнений Фаддеева для трёхнуклонных систем демонстрируют, что реалистичных двухнуклонных сил (2NF), таких как AV18 или CD-Bonn, недостаточно для точного воспроизведения экспериментальных значений энергий связи ядер 3Н и 3He. Для достижения согласия с экспериментом необходимо явное включение трёхнуклонных сил (3NF), особенно при рассмотрении эффектов нарушения зарядовой независимости (CIB) и симметрии (CSB). Из расчётов работы [9] следовало, что поведение потенциалов на больших импульсах не оказывает решающего влияния на результат, тогда как учёт 3NF позволяет существенно повысить точность предсказаний. В этой работе было показано, что при определённом выборе параметров сетки и корректном учёте изоспиновых эффектов можно добиться высокой точности расчётов, приближающихся к экспериментальным данным с разницей менее чем ~20 кэВ. Работа [12] подтверждает эти выводы и развивает подход, используя разные методы численного решения — как Паде-аппроксимации, так и алгебраический метод обращения матриц — для анализа зависимости энергии связи от параметров сетки интегрирования и способа получения двухчастичной t-матрицы. Современные реалистичные модели нуклон- нуклонного (NN) взаимодействия, такие как CD-Bonn или AV18, содержат сложную структуру, включающую не только центральные, но и тензорные компоненты, которые играют роль в формировании свойств лёгких ядер. Одним из важных проявлений тензорного взаимодействия является его влияние на вероятность D-состояния дейтрона Pd [13] , которая для потенциала CD-Bonn составляет 4.83%, тогда как для Nijml — 5.68%. Такие различия, хотя и кажутся небольшими, могут приводить к заметным отклонениям в предсказаниях теории при моделировании трёх - и четырёхнуклонных систем. В частности, тензорное смешивание S- и D-состояний становится критически важным при описании корреляций между нуклонами, особенно в реакциях с участием поляризованных частиц или при анализе спиновых наблюдаемых. Однако точный учёт этих эффектов требует значительных вычислительных усилий, особенно в рамках парциально-волнового разложения, где необходимо учитывать большое количество угловых моментов и их интерференцию. Несмотря на высокую степень детализации современных NN-потенциалов, экспериментально измеренные характеристики трёхнуклонных систем, такие как энергии связи 3H и 3He, не могут быть воспроизведены без явного включения дополнительных взаимодействий — в первую очередь, трёхнуклонных сил (3NF). При этом все специфические эффекты связаны с микроскопической структурой двухчастичных t-матриц, полученных с учётом полной картины NN-взаимодействия, включая тензорные силы. Таким образом, даже самые продвинутые модели, учитывающие всю сложность NN-динамики, остаются недостаточными для полного согласия с экспериментом
В общем случае трёх тел с различными массами каждое парное взаимодействие характеризуется своей собственной кинематикой. Иными словами, для описания движения каждой пары частиц необходимо использовать соответствующую систему импульсов Якоби, зависящую от конкретных значений масс частиц. В результате каждая из трёх возможных пар частиц имеет свою собственную резольвенту, а также свою t- матрицу, описывающую рассеяние в данной паре. Эти матрицы отличаются не только параметрами взаимодействия, но и структурой особенностей, возникающих при численном интегрировании. Например, положение полюсов резольвенты, отвечающих связанным состояниям, зависит от приведённых масс пар, а характер сингулярностей — от распределения энергии между частицами.
Точное описание энергий связи и других характеристик трёхчастичных систем невозможно без использования более сложных подходов, таких как уравнения Фаддеева или методы дискретизации континуума [14, 15, 16]. Эти методы позволяют учитывать парные, коллективные эффекты, позволяют обеспечивать корректное описание граничных условий и каналов распада. Переход от двух- к трёхчастичным моделям становится не просто усложнением теоретического аппарата, а необходимым шагом для получения согласующихся с экспериментом результатов.
Уравнения Фаддеева играют ключевую роль в изучении структуры лёгких и экзотических ядер. Они были получены как способ строгого решения трёхчастичной задачи квантовой механики с парными взаимодействиями, без сведения к эффективным двухчастичным моделям. Идея заключается в разделении волновой функции на три компоненты, каждая из которых отвечает за взаимодействие одной пары частиц и свободном движении третьей. Такое представление позволяет корректно учесть все возможные перестроечные каналы и обеспечивает выполнение граничных условий рассеяния. Подход Фаддеева особенно эффективен при анализе систем с разной массой частиц. Эти уравнения позволяют точно рассчитать энергии связи, волновые функции, а также дифференциальные и интегральные сечения рассеяния для произвольной трёхчастичной конфигураций. С аналитическим продолжением уравнений Фаддеева на нефизический лист энергий можно получить положение полюсов матрицы рассеяния в комплексной плоскости энергий и, связанные с ними параметры резонансов без искусственных упрощений и модельных предположений.
Поиск энергий связи простейших трёхчастичных ядер (таких как тритон (3H) или гелий-3 (3He)) с использованием решения однородных уравнений Фаддеева сталкивается с рядом вычислительных трудностей. Эти трудности связаны не только с объективной сложностью задачи, но и с особенностями используемых численных методов. Традиционно для решения уравнений Фаддеева применяется парциально-волновое разложение, в рамках которого полная волновая функция системы раскладывается по состояниям с определённым орбитальным моментом. Такой подход позволяет свести многомерную задачу к набору одномерных интегральных уравнений, что удобно для численной реализации [17]. В отличие от парциально-волнового подхода, который требует разложения взаимодействия по угловым моментам и тем самым ограничивает возможности использования потенциалов сложной структуры, метод прямого интегрирования позволяет единообразно описывать как короткодействующие, так и дальнодействующие взаимодействия, включая тензорные и релятивистские компоненты. Если в двухчастичном случае задача может быть решена прямыми алгебраическими методами, например, через обращение матрицы, возникающей после дискретизации интегрального уравнения, то для систем с тремя и более частицами такой подход становится неприменимым. Это связано с тем, что в малочастичных системах точная динамика характеризуется существованием связанных состояний, лежащих в непрерывном спектре энергий. Такие особенности приводят к тому, что интегральные ядра, входящие в уравнения Фаддеева, содержат полюсы, соответствующие этим связанным состояниям. В результате определители обращаемых матриц становятся равными нулю, и обратные матрицы попросту не существуют. Подобная ситуация принципиально отсутствует как в классических двухчастичных задачах, так и в одночастичных задачах рассеяния в эффективном поле, являясь специфической чертой любых точных трёх- и многочастичных подходов. Особое внимание при численном решении уравнений Фаддеева уделяется наличию логарифмических сингулярностей в ядрах интегральных уравнений. Эти особенности возникают вследствие структуры пропагатора (резольвенты) свободной системы частиц и проявляются при совпадении энергии системы с порогом двухчастичного взаимодействия. Вблизи этих пороговых значений знаменатель резольвенты обращается в ноль, что приводит к логарифмически дивергирующему поведению подынтегральных выражений. Наличие таких сингулярностей существенно затрудняет численную реализацию метода, поскольку стандартные схемы квадратур становятся неэффективными или дают большую погрешность. Для корректного учёта логарифмических особенностей применяются специальные методы регуляризации, такие как аналитическое выделение сингулярной части интеграла и её последующее разложение в ряд Тейлора, а также использование адаптивных сеток и специализированных весовых функций в т.ч. сплайнов при интегрировании. Использование лишь двухчастичных данных может приводить к значительным ошибкам, например, при описании реакции р-катализируемого синтеза dtp ^ а + п + р [18], где роль основную играет резонанс 5He34+. Современные исследования всё чаще используют решение уравнений Фаддеева в импульсном представлении без использования парциально-волновых разложений. Такой способ позволяет сохранить полную матричную структуру двух частичных t-матриц и учитывать все межканальные корреляции, что особенно важно при анализе систем с различными массами частиц и потенциалами различной природы...
Поиск энергий связи простейших трёхчастичных ядер с реалистичными NN потенциалами, с помощью решения однородных уравнений Фаддеева, систематически сталкивается [6, 7, 8, 9] с необходимостью учитывать дополнительное по отношению к NN потенциалу трёхчастичное взаимодействие. Как следует из анализа экспериментальных данных, представленных в обзорах [10] и диссертации [11], значения нейтрон-нейтронной длины рассеяния апп демонстрируют значительный разброс: от -14 до -25 фм. Наиболее надёжные значения получены в реакции радиационного захвата остановившихся пионов n~ + d^y + n + n, где влияние трёхнуклонных сил минимально, и значение апп = -18.63 ± 0.48 фм считается наиболее корректным. В то же время, в реакциях типа n+d^n+n+p при энергиях нейтронов 13-40 МэВ, где вклад трёхнуклонных сил (3NF) становится существенным, средневзвешенное значение составляет апп = -16.6 ± 0.5 фм. Разница между этими величинами (~2 фм) обычно интерпретируется как чистый вклад 3NF. Что касается протон-протонной длины рассеяния арр, то её значение составляет -17.3±0.4 фм, а разница апп — арр « -1.3 -—4.9 фм указывает на проявления нарушения зарядовой симметрии (CSB), связанное с кулоновским взаимодействием в системе pp. Таким образом, анализ разброса длин рассеяния позволяет не только оценить вклад 3NF, но и выделить эффекты нарушения изоспиновой инвариантности. Как показано в работе [9], строгие решения уравнений Фаддеева для трёхнуклонных систем демонстрируют, что реалистичных двухнуклонных сил (2NF), таких как AV18 или CD-Bonn, недостаточно для точного воспроизведения экспериментальных значений энергий связи ядер 3Н и 3He. Для достижения согласия с экспериментом необходимо явное включение трёхнуклонных сил (3NF), особенно при рассмотрении эффектов нарушения зарядовой независимости (CIB) и симметрии (CSB). Из расчётов работы [9] следовало, что поведение потенциалов на больших импульсах не оказывает решающего влияния на результат, тогда как учёт 3NF позволяет существенно повысить точность предсказаний. В этой работе было показано, что при определённом выборе параметров сетки и корректном учёте изоспиновых эффектов можно добиться высокой точности расчётов, приближающихся к экспериментальным данным с разницей менее чем ~20 кэВ. Работа [12] подтверждает эти выводы и развивает подход, используя разные методы численного решения — как Паде-аппроксимации, так и алгебраический метод обращения матриц — для анализа зависимости энергии связи от параметров сетки интегрирования и способа получения двухчастичной t-матрицы. Современные реалистичные модели нуклон- нуклонного (NN) взаимодействия, такие как CD-Bonn или AV18, содержат сложную структуру, включающую не только центральные, но и тензорные компоненты, которые играют роль в формировании свойств лёгких ядер. Одним из важных проявлений тензорного взаимодействия является его влияние на вероятность D-состояния дейтрона Pd [13] , которая для потенциала CD-Bonn составляет 4.83%, тогда как для Nijml — 5.68%. Такие различия, хотя и кажутся небольшими, могут приводить к заметным отклонениям в предсказаниях теории при моделировании трёх - и четырёхнуклонных систем. В частности, тензорное смешивание S- и D-состояний становится критически важным при описании корреляций между нуклонами, особенно в реакциях с участием поляризованных частиц или при анализе спиновых наблюдаемых. Однако точный учёт этих эффектов требует значительных вычислительных усилий, особенно в рамках парциально-волнового разложения, где необходимо учитывать большое количество угловых моментов и их интерференцию. Несмотря на высокую степень детализации современных NN-потенциалов, экспериментально измеренные характеристики трёхнуклонных систем, такие как энергии связи 3H и 3He, не могут быть воспроизведены без явного включения дополнительных взаимодействий — в первую очередь, трёхнуклонных сил (3NF). При этом все специфические эффекты связаны с микроскопической структурой двухчастичных t-матриц, полученных с учётом полной картины NN-взаимодействия, включая тензорные силы. Таким образом, даже самые продвинутые модели, учитывающие всю сложность NN-динамики, остаются недостаточными для полного согласия с экспериментом
В общем случае трёх тел с различными массами каждое парное взаимодействие характеризуется своей собственной кинематикой. Иными словами, для описания движения каждой пары частиц необходимо использовать соответствующую систему импульсов Якоби, зависящую от конкретных значений масс частиц. В результате каждая из трёх возможных пар частиц имеет свою собственную резольвенту, а также свою t- матрицу, описывающую рассеяние в данной паре. Эти матрицы отличаются не только параметрами взаимодействия, но и структурой особенностей, возникающих при численном интегрировании. Например, положение полюсов резольвенты, отвечающих связанным состояниям, зависит от приведённых масс пар, а характер сингулярностей — от распределения энергии между частицами.
Точное описание энергий связи и других характеристик трёхчастичных систем невозможно без использования более сложных подходов, таких как уравнения Фаддеева или методы дискретизации континуума [14, 15, 16]. Эти методы позволяют учитывать парные, коллективные эффекты, позволяют обеспечивать корректное описание граничных условий и каналов распада. Переход от двух- к трёхчастичным моделям становится не просто усложнением теоретического аппарата, а необходимым шагом для получения согласующихся с экспериментом результатов.
Уравнения Фаддеева играют ключевую роль в изучении структуры лёгких и экзотических ядер. Они были получены как способ строгого решения трёхчастичной задачи квантовой механики с парными взаимодействиями, без сведения к эффективным двухчастичным моделям. Идея заключается в разделении волновой функции на три компоненты, каждая из которых отвечает за взаимодействие одной пары частиц и свободном движении третьей. Такое представление позволяет корректно учесть все возможные перестроечные каналы и обеспечивает выполнение граничных условий рассеяния. Подход Фаддеева особенно эффективен при анализе систем с разной массой частиц. Эти уравнения позволяют точно рассчитать энергии связи, волновые функции, а также дифференциальные и интегральные сечения рассеяния для произвольной трёхчастичной конфигураций. С аналитическим продолжением уравнений Фаддеева на нефизический лист энергий можно получить положение полюсов матрицы рассеяния в комплексной плоскости энергий и, связанные с ними параметры резонансов без искусственных упрощений и модельных предположений.
Поиск энергий связи простейших трёхчастичных ядер (таких как тритон (3H) или гелий-3 (3He)) с использованием решения однородных уравнений Фаддеева сталкивается с рядом вычислительных трудностей. Эти трудности связаны не только с объективной сложностью задачи, но и с особенностями используемых численных методов. Традиционно для решения уравнений Фаддеева применяется парциально-волновое разложение, в рамках которого полная волновая функция системы раскладывается по состояниям с определённым орбитальным моментом. Такой подход позволяет свести многомерную задачу к набору одномерных интегральных уравнений, что удобно для численной реализации [17]. В отличие от парциально-волнового подхода, который требует разложения взаимодействия по угловым моментам и тем самым ограничивает возможности использования потенциалов сложной структуры, метод прямого интегрирования позволяет единообразно описывать как короткодействующие, так и дальнодействующие взаимодействия, включая тензорные и релятивистские компоненты. Если в двухчастичном случае задача может быть решена прямыми алгебраическими методами, например, через обращение матрицы, возникающей после дискретизации интегрального уравнения, то для систем с тремя и более частицами такой подход становится неприменимым. Это связано с тем, что в малочастичных системах точная динамика характеризуется существованием связанных состояний, лежащих в непрерывном спектре энергий. Такие особенности приводят к тому, что интегральные ядра, входящие в уравнения Фаддеева, содержат полюсы, соответствующие этим связанным состояниям. В результате определители обращаемых матриц становятся равными нулю, и обратные матрицы попросту не существуют. Подобная ситуация принципиально отсутствует как в классических двухчастичных задачах, так и в одночастичных задачах рассеяния в эффективном поле, являясь специфической чертой любых точных трёх- и многочастичных подходов. Особое внимание при численном решении уравнений Фаддеева уделяется наличию логарифмических сингулярностей в ядрах интегральных уравнений. Эти особенности возникают вследствие структуры пропагатора (резольвенты) свободной системы частиц и проявляются при совпадении энергии системы с порогом двухчастичного взаимодействия. Вблизи этих пороговых значений знаменатель резольвенты обращается в ноль, что приводит к логарифмически дивергирующему поведению подынтегральных выражений. Наличие таких сингулярностей существенно затрудняет численную реализацию метода, поскольку стандартные схемы квадратур становятся неэффективными или дают большую погрешность. Для корректного учёта логарифмических особенностей применяются специальные методы регуляризации, такие как аналитическое выделение сингулярной части интеграла и её последующее разложение в ряд Тейлора, а также использование адаптивных сеток и специализированных весовых функций в т.ч. сплайнов при интегрировании. Использование лишь двухчастичных данных может приводить к значительным ошибкам, например, при описании реакции р-катализируемого синтеза dtp ^ а + п + р [18], где роль основную играет резонанс 5He34+. Современные исследования всё чаще используют решение уравнений Фаддеева в импульсном представлении без использования парциально-волновых разложений. Такой способ позволяет сохранить полную матричную структуру двух частичных t-матриц и учитывать все межканальные корреляции, что особенно важно при анализе систем с различными массами частиц и потенциалами различной природы...
