Аннотация
Введение 3
1 A-Представление алгебр Ли 6
2 Некоторые точные решения уравнения Шредингера 13
2.1 Стационарнвхе состояния 13
2.2 Полнвхй набор нестационарнвхх решений 14
3 ОКС ускоренной частицвх 24
3.1 Интегралах движения 24
3.2 ОКС 26
4 Среднеквадратические отклонения и условия квазиклассичности . 33
Заключение 39
Литература 41
Приложение А Некоторые свойства функции Эйри 43
Нерелятивистская массивная ускоренная частица является ярким и физически важным примером квантовой системах с квадратичным гамильтонианом. Известные стационарные состояния для такой системы получаются методом разделения переменных в уравнении Шредингера и выражаются через функцию Эйри. Альтернативой методу разделения переменных является метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений, предложенный в работе [1] и затем развитый в работах [2-4]. Этот метод существенно использует симметрию дифференциального уравнения и его алгебру операторов симметрии, и позволяет построить базис решений, в общем случае отличающихся от решений, построенных методом разделения перемененных. В этой работе с помощью метода некоммутативного интегрирования будет построен полный набор нестационарных состояний ускоренной частицы, и выявлена связь этих решений с известными стационарными.
Далее будут изучены когерентные состояния (КС) ускоренной частицы. Формально задача построения КС для систем с квадратичными гамильтонианами общего вида была решена в работах [5-7] с помощью метода интегралов движения. Следует отметить, что иногда из общих результатов извлечь подходящие наборы КС — это очень непростая задача. Даже для такой простой и физически важной системы, как свободная частица, проблема построения КС была решена относительно недавно в работе [8], следуя фактически методу интегралов движения и его специальной версии, предложенной в работе [9]. Полагается, что такая ситуация объясняется тем, что динамика свободной частицы представляет собой неограниченное движение с непрерывным энергетическим спектром и обобщение исходной схемы построения КС в данном случае не столь очевидно. Фактически формальное применение метода интегралов движения к системам с неограниченным движением приводит к построению так называемых обобщенных когерентных состояний (ОКС). В работе [8] обращалось внимание на то, что среди семейств формально построенных ОКС могут существовать как квазиклассические состояния, так и квантовые состояния, вообще не описывающие никакого квазиклассического движения. Зафиксировав специальные параметры, возникающие при построении ОКС, можно выделить семейства состояний, которые называют просто КС, а также квазиклас- сические и сжатые состояния [10]. Исследование ОКС ускоренной частицы позволит углубитв наши знания о когерентнвхх состояниях систем с неограниченным движением и непрервхвнвхм спектром.
Целвю данной работах является получение и дальнейшее исследование новых решений уравнения Шрёдингера для ускоренной частицы с помощью метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Построение и изучение обобщенных когерентных состояний ускоренной частицы.
В соответствии с поставленной целью нужно решить следующие задачи:
1. Исследовать алгебру Ли операторов симметрии уравнения Шредингера ускоренной частицы, построить А -представление для данной алгебры. Используя метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений, получить новые решения уравнения Шредингера. Установить связь между новыми решениями и известными стационарными.
2. Используя метод интегралов движения, построить обобщенные когерентные состояния (ОКС) ускоренной частицы. Изучить построенные ОКС. Доказать соответствующие соотношения полноты и ортогональности. Исследовать условия минимизации соотношений неопределённостей для построенных когерентных состояний и условия квазиклассичности.
Работа будет построена следующим образом. В разделе 1 описываются основные идеи, приводящие к методу некоммутативного интегрирования, приводятся сведения о классификации К-орбит и алгоритм построения А-представления алгебр Ли. В разделе 2 будут рассмотрены уже известные стационарные состояния ускоренной частицы и построены новые решения уравнения Шредингера, используя метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений; будет получена связь между новыми и старыми решениями. В разделе 3 будут построены и изучены ОКС ускоренной частицы и доказаны соответствующие соотношения полноты и ортогональности. В разделе 4 будут исследованы условия минимизации соотношений неопределенностей и условия квазиклассичности для полученных ОКС. В заключении постараемся перечислить основные результаты работы.
В данной работе были исследованы квантовые состояния нерелятивистской массивной ускоренной частицвх, как известнвхе, так и новвхе, полученные методом некоммутативного интегрирования линейнвхх дифференциал внвхх уравнений. Получен полнвхй набор нестационарнвхх состояний ускоренной частицвх (78). Бвхло показано, что этот набор ввхражается через элементарнвхе функции и характеризуется вещественнвхм параметром ц, соответствующим началвному импулвсу частицвх. Установлена связв этих решений со стационарнвхми состояниями, ввхражающимися через функцию Эйри (84).
Исполвзуя метод интегралов движения, бвхли построенвх ОКС ускоренной частицвх. Изученвх условия минимизации соотношений неопределенностей и определен набор соответствующих параметров. Из ОКС бвхло ввхделено семейство состояний, которое обвхчно назвхвают просто КС. Это семейство характеризуется вещественнвхм параметром aq, имеющим смвхсл среднеквадратического отклонения координатах в начальный момент времени. Было показано, что КС минимизируют соотношение неопределенностей (131) во все моменты времени и соотношение неопределенностей Гейзенберга (134) в начальный момент времени. Показано, что плотности вероятности (140), отвечающие КС, задаются гауссовыми распределением со среднеквадратическими отклонениями aq (t), а построенные КС представляют собой волновые пакеты, являющиеся решениями уравнения Шредингера для ускоренной частицы. Доказаны соответствующие соотношения полноты и ортогональности для построенных ОКС и КС. Учитывая изменение формы волновых пакетов со временем были определены общие условия квазиклассичности и класс КС, который можно отождествить с ква- зиклассическими состояниями. Как было показано, из полученных условий следует, что в отличие от случая свободной частицы, когда КС могут рассматриваться как квазиклассические, если дебройлевская длина волны частицы много меньше среднеквадратического отклонения координат в начальный момент времени, по прошествии достаточно длительного времени КС ускоренной частицы всегда можно считать квазиклассическими. Интересно, что этот вывод согласуется с выводом, полученным в [22] при изучении модели Кальдиролы-Канаи. А именно, было показано, что сила сопротивления и вязкое трение препятствуют распространению квазиклас- сического волнового пакета. Таким образом, с течением времени сила сопротивления подавляет квантоввхе свойства частицвх, все болвше ввхражая классический характер её движения.
