Аннотация 3
Введение 3
1 Сведения о рядах Фурье 6
2 Обзор некоторых аналитических решений задач ЭИТ 12
3 Постановка задачи. Существование и единственность решения задачи 14
4 Аналитические решения некоторых задач ЭИТ 15
4.1 Точечные электроды. Задача Неймана для уравнения Лапласа 15
4.2 Электроды полуширины w. Задача Неймана для уравнения Лапласа 16
4.3 Сопряженная задача с граничными условиями Неймана. Электроды
конечной ширины 21
4.4 Смешанная граничная задача для уравнения Лапласа. Полная
электродная модель 27
4.5 Смешанная граничная задача для круга с концентрической вставкой 35
4.6 Смешанная граничная задача для круга с неконцентрической вставкой 39
Заключение 43
Список используемой литературы 44
Приложение А 46
Томография - послойная запись какой-либо информации о объемном объекте.
История развития электроимпедансной томографии берёт начало в конце 70-х годов двадцатого столетия. Считается, что в 1978 г. Р. Хендерсоном и Дж. Вебстером было получено первое импедансное изображение грудной клетки. Они использовали 100 электродов, прикрепленных к спине пациента, и один электрод, прикрепленный к грудной клетке. Таким образом они получили изображение проводимости электрического тока. В 1987 г. был разработан «метод обратных проекций» - алгоритм быстрой реконструкции импедансных изображений. А в 1995 в Институте радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН был создан первый действующий образец трёхмерного импедансного томографа. Одновременно с разработкой оборудования стали появляться и новые методы численной реконструкции изображений на основе результатов измерений ЭИТ [5].
Электроимпедансная томография (синоним - томография приложенных потенциалов) - методика, позволяющая реконструировать внутреннее строение объектов живой природы через сечения, основываясь на измерении напряжения электрического тока, проходящего через сетку электродов, с последующим считыванием напряжения на границе [8].
Суть метода заключается в том, что на поверхность объекта крепится набор электродов, а затем выполняются измерения: к двум точкам поверхности исследуемого объекта подается слабый электрический ток высокой частоты и измеряется результирующее напряжение на поверхности исследуемого объекта, с помощью токопроводящих электродов, прикрепляемых к объекту. Измерив значения потенциала на поверхности объекта, и приняв эти значения за граничные условия, определяют пространственное распределение сопротивления. Стоит отметить, что под воздействием переменного тока, ткани не подвергаются риску появления необратимых химических процессов. Именно это позволяет изучать структуру биологических объектов, без риска для здоровья.
Виды ЭИТ
В настоящее время существует несколько методов электроимпедансной томографии:
Для первоначального доказательства существования и единственности решения использовали непрерывную модель электрода (Continuous Model), подразумевающую полное знание всех граничных условий. В последнее время используют модель с пропуском в граничных данных, модель с зазором (Gap Model) или более реалистичную с физической точки зрения, модель электрода с шунтом (Shunt Electrode Model), а также полную модель электрода (Complete Electrode Model). В полной модели электрода добавляется комплексное сопротивление для каждого электрода [6].
CM GM SEM СЕМ
Рисунок 1 - Модели электродов: CM - непрерывная модель, GM - модель с
зазором, PEM - точечный электрод Модель, SEM - модель электрода с
шунтом, CEM - полная модель электрода
Актуальность
В современных условиях весьма актуально создание безопасного для пациента метода визуализирующей диагностики, дополняющего существующие, и позволяющего получать динамические изображения внутренней структуры биообъектов при помощи недорогой, мобильной аппаратуры. На сегодняшний день, метод ЭИТ активно развивается и является перспективным. Среди плюсов ЭИТ можно отметить: небольшую стоимость, компактный размер, быстрый сбор данных и безопасность. В настоящее время, качество изображений, получаемых с помощью ЭИТ не самое высокое. Методика может получить более широкое распространение, если удастся достигнуть более высокого качества изображений. Наравне с необходимостью улучшения изображения, необходимо уделять внимание и разработке численных методов решения [10].
В наше время методы решения задачи электроимпедансной томографии разделяют на итерационные и неитерационные (простые). Схожесть методов в том, что они оба осуществляют поиск распределения проводимости объекта или границ неоднородностей в объекте.
Где используется
В настоящее время электроимпедансная томография используется в промышленности, для проверки целостности внутренней структуры выпускаемой продукции, в геодезических исследованиях, для поиска полезных ископаемых и медицине для компьютерной диагностики, контроля активности головного мозга, визуализации ЖКТ и контроля лёгочных и сердечных функций, а также других областях.
Цель работы
Цель работы заключается в получении новых приближенных аналитических решений двумерных задач ЭИТ в круге с неоднородной проводимостью для полной электродной модели (граничные условия второго и третьего рода).
В результате выполнения работы была изучена теория рядов Фурье, рассмотрены модели электродов и изучены некоторые модели ЭИТ для получения двумерных изображений электрического напряжения.
Рассмотрены постановки задач для точечных электродов, и электродов полуширины w. Записаны аналитические решения для однородного диска и диска с концентрической вставкой при заданной плотности тока и для полной электродной модели.
Получено новое, неопубликованное раннее аналитическое решение смешанной задачи для случая с неконцентрической вставкой, а также данные распространения электрического потенциала внутри круга.
В практической части были реализованы программы для получения двумерных изображений напряжения тока, работая в среде программирования PascalABC, с помощью рядов Фурье и привели несколько примеров графического решения в Golden Software Surfer, а также в среде программирования Python реализована программа для получения графического решения для случая с L электродами. В среде программирования C++ реализована программа для получения графического решения смешанной задачи с неконцентрической вставкой.
