Теплопроводность - это явление, в результате которого тепло передаётся от более горячих частей тела к более холодным или же от одного, более нагретого, тела другому [1]. Задача теплопроводности является важной и распространённой задачей математической физики. Рассмотрение явления теплопроводности, например, необходимо при проектировании летательных аппаратов, подвергающихся аэродинамическому нагреву. Распределение температуры тела, движущегося в атмосфере с большой сверхзвуковой скоростью, зависит как от условий полёта, так и от теплофизических и геометрических параметров материалов тела. При проектировании таких аппаратов требуется прогнозировать тепловые поля, возникающие в полёте под действием аэродинамического нагрева.
Одним из распространённых методов решения уравнения теплопроводности является метод сеток. При его применении физическое пространство тела заменяется на дискретное его разбиение, то есть сетку. Сетка - это совокупность ячеек, которые являются подобластями исходной области со сложной геометрией и покрывают всю область.
При выборе класса сеток отдадим предпочтение структурированным, так как, несмотря на определённые сложности при построении сетки, её использование ведёт к уменьшению времени работы вычислительной машины и сокращению необходимого объёма оперативной памяти. Среди множества видов структурированных сеток преимуществом обладают ортогональные сетки, так как они минимизируют ошибку при аппроксимации дифференциального уравнения.
Рассматриваемым объектом является уравнение теплопроводности, описывающее процесс распространения тепла в некоторой геометрической области твёрдого тела.
Предметом данной работы является алгоритм численного решения уравнения теплопроводности, включающий построение сетки и метод расщепления.
Целью работы является построение криволинейной ортогональной структурированной сетки при нескольких вариантах расчётной области, типичных для задачи тепловой защиты летательных аппаратов от аэродинамического нагрева, и алгоритм решения уравнения теплопроводности с заданными граничными условиями.
В работе используются следующие методы:
- методы дифференциальной геометрии для определения уравнений, задающих линии криволинейной сетки;
- явный метод Эйлера для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;
- метод конечных объёмов для построения разностной схемы;
- метод расщепления в модификации Дугласа-Рэкфорда для построения алгоритма решения разностного уравнения теплопроводности;
- метод прогонки для решения разностных уравнений.
Данная работа является пропедевтикой к расчётам процесса распространения тепла на реальных летательных объектах, подвергающихся аэродинамическому нагреву, прогнозированию температурных режимов тела в процессе реального сверх- и гиперзвукового полёта.
В качестве источников информации были использованы классические учебники по математике и специализированная литература, список которой предоставлен в конце работы.
В первой главе работы производится вывод формул для построения криволинейной ортогональной структурированной сетки и метрических коэффициентов. Во второй главе продемонстрированы примеры построения сетки в конкретных расчётных областях. В третьей главе рассматривается уравнение теплопроводности и выводятся формулы для численной реализации расчётов.
В результате данной работы была построена криволинейная ортогональная структурированная сетка при нескольких вариантах расчётной области, были найдены метрические коэффициенты, а также получены формулы для решения уравнения теплопроводности в узлах сетки методом расщепления в модификации Дугласа-Рэкфорда. Описан алгоритм прогонки для решения разностных уравнений на каждом этапе метода расщепления.
