ВВЕДЕНИЕ 3
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТАХ. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ 5
1.1 Возмущения от сжатия Земли 5
1.2 Притяжение Луны и Солнца 6
1.3 Световое давление 7
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОРБИТАЛЬНЫХ
ЭЛЕМЕНТАХ 9
2.1 Уравнения в элементах Кеплера 9
2.2 Уравнения в элементах Лагранжа 10
2.3 Уравнения в элементах Роя 11
3 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА 12
4 ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 29
Орбитальное движение искусственных спутников Земли (ИСЗ) описывается весьма сложными дифференциальными уравнениями, которые не поддаются решению аналитическими способами, поэтому для моделирования спутниковых орбит прибегают к численным методам.
Классическая и традиционная формализация орбитального движения — это дифференциальные уравнения в прямоугольных координатах. Однако их численное интегрирование сопряжено с рядом трудностей, что приводит к низкой эффективности моделирования. Функции дифференциальных уравнений орбитального движения — периодические и быстроизменяющиеся. Поэтому для обеспечения высокой точности спутниковых эфемерид дифференциальные уравнения необходимо интегрировать с малым шагом, что требует больших объемов вычислений, которые сопровождаются быстрым накоплением ошибок округления. Эта трудность усугубляется наличием в уравнениях сингулярности при нулевом геоцентрическом расстоянии, что в случае высоко эллиптичных орбит становится причиной сильно неравномерного поведения функций дифференциальных уравнений. Кроме того, уравнения неустойчивы по Ляпунову и, как известно, неустойчивость усиливает всевозможные ошибки, неизбежно сопровождающие любой численный процесс.
Разрешение этих трудностей — формализация спутникового движения в орбитальных элементах, которые при слабых возмущениях, вообще говоря, — медленно изменяющиеся величины. Кеплеровы элементы — неподходящий выбор для моделирования орбит многих функционирующих спутников, поскольку их дифференциальные уравнения сингулярны при нулевых значениях эксцентриситета и наклонения. При численном моделировании почти круговых и геоэкваториальных орбит это приводит к большим возмущениям в долготе восходящего узла и аргументе перицентра и быстрым изменениям функций их дифференциальных уравнений даже при слабых возмущающих факторах. Поэтому эти дифференциальные уравнения могут интегрироваться с низкой эффективностью.
Впрочем, регуляризация уравнений возможна путем введения комбинированных орбитальных элементов, каковыми, например, являются широко используемые на практике элементы Лагранжа. Однако их уравнения не лишены другого недостатка уравнений в кеплеровых элементах: они — очень сложные и, кроме того, при интегрировании на каждом шаге многократно требуют преобразование возмущающих сил из прямоугольной системы координат к орбитальной.
Наиболее удачным, на наш взгляд, выбором для численного моделирования спутниковых орбит являются элегантные и простые уравнения в элементах Роя, каковыми являются известные в орбитальной динамике величины. Это — вектор момента количества движения и вектор Лапласа, а также истинная долгота. Целью выпускной работы было исследование эффективности применения дифференциальных уравнений в элементах Роя для численного моделирования орбитального движения ИСЗ.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: 1) освоить принципы конструирования дифференциальных уравнений в орбитальных эле-ментах, в том числе и в регулярных элементах Роя; 2) изучить теорию методов Рунге- Кутты, а также коллокационного метода Эверхарта для численного решения дифференциальных уравнений; 3) составить алгоритм численной модели орбитального движения на основе дифференциальных уравнений в прямоугольных координатах и регулярных элементах с использованием для их численного интегрирования классического метода Рунге-Кутты 4-го порядка и метода Эверхарта; 4) написать программы численного моделирования орбитального движения на основе разных дифференциальных уравнений; 5) провести эксперимент по исследованию эффективности численных моделей на примере КА ГЛО-НАСС, геостационарного спутника и КА Молния; 6) выполнить анализ численных результатов эксперимента.
Содержательная часть работы состоит из четырех глав. В первой главе представлены дифференциальные уравнения в прямоугольных координатах, а также изложена основная теория о возмущающих факторах, действующих на ИСЗ. Во второй главе описываются дифференциальные уравнения в орбитальных элементах: в Кеплеровых элементах, в элементах Лагранжа, в элементах Роя. Третья глава разъясняет какие методы и процедуры использовались в программном комплексе. Четвертая глава посвящена исследованию численных результатов. В ней описываются постановка эксперимента и полученные численные результаты.
Результаты исследовательской работы были апробированы на X Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики-2020» (18 - 20 ноября 2020 г., Томск).
Таким образом, в результате выполненной дипломной работы мы получили следующие результаты.
1. Разработан программный комплекс для численного моделирования орбитального движения ИСЗ на основе дифференциальных уравнений в прямоугольных координат, а также в регулярных элементах Лагранжа и Роя с возможностью их интегрирования методом Рунге-Кутты либо Эверхарта.
2. Проведены численные эксперименты по исследованию эффективности разработанных орбитальных моделей.
3. Показано, что уравнения в регулярных элементах для круговых и почти круговых ор-бит позволяют повысить быстродействие до 20 раз, а точность до 7.5 раз.
4. В случае высокоэллиптичных орбит эффективность ухудшается как для уравнений в прямоугольных координатах, так и для уравнений в элементах. Однако необходимая миллиметровая точность все же достигается.
5. Проведена оценка потери точности численного интегрирования при моделировании теневых участков орбиты. В частности, показано, что точность интегрирования уравнений в элементах ухудшается настолько, что она становится сопоставимой с числен-ной моделью на уравнений в прямоугольных координатах, интегрируемых методом Рунге-Кутты.
6. Полученные в работе результаты показывают, что уравнения в элементах Лагранжа и Роя одинаково хороши при численном моделировании орбитального движения ИСЗ. Однако, учитывая простоту уравнений Роя, мы находим их более привлекательными для формализации орбитального движения и видим в них достойную альтернативу уравнениям в элементах Лагранжа.
