ИССЛЕДОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОГО ОТОБРАЖЕНИЯ К ГОМЕОМОРФИЗМУ ПРОСТРАНСТВ с0 И $ х с0
|
Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ГОМЕОМОРФИЗМЫ СО СВОЙСТВОМ КОНЕЧНОГО НОСИТЕЛЯ 6
1.1. Сопряженное отображение 6
1.2. Свойство конечного носителя 8
2. СВОЙСТВО КОНЕЧНОГО НОСИТЕЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМА ПРОСТРАНСТВ с0 И
5 X с0 13
2.1. Гомеоморфизм пространств с0 и 5 X с0 13
2.2. Функционал Р1 17
2.3. Функционалы Рп, п >1 19
2.4. Свойство счетного носителя 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 31
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ГОМЕОМОРФИЗМЫ СО СВОЙСТВОМ КОНЕЧНОГО НОСИТЕЛЯ 6
1.1. Сопряженное отображение 6
1.2. Свойство конечного носителя 8
2. СВОЙСТВО КОНЕЧНОГО НОСИТЕЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМА ПРОСТРАНСТВ с0 И
5 X с0 13
2.1. Гомеоморфизм пространств с0 и 5 X с0 13
2.2. Функционал Р1 17
2.3. Функционалы Рп, п >1 19
2.4. Свойство счетного носителя 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 31
Одно из актуальных направлений исследований в топологии - сравнение топологических свойств пространств X и Y, при наличии гомеоморфизма того или иного класса (линейного, равномерного, общего) между их пространствами функций Cp(X), Cp(Y). В качестве примера можно привести статью А. Бузиада [1], доказавшего, что если Cp(X) и Cp(Y) линейно гомеоморфны, то числа Линделёфа Z (X), Z(Y) совпадают, или теорему В.В. Успенского [2] о том, что пространства X и Y одновременно компактны, или нет, если пространства функций Ср(X), Ср(Y) равномерно гомеоморфны.
В 1986 году С. П. Гулько и Т. Е. Хмылева [3] показали, что этот результат Успенского нельзя обобщить на случай произвольного гомеоморфизма пространств функций. Они, в частности, построили гомеоморфизм между пространствами с0 и s X с0, наделёнными топологией поточечной сходимости, то есть гомеоморфизм
У:Ср(цЫфЫ) ^ Ср(аЫ), (1)
где, как известно, «Ы - компактификация множества N натуральных чисел одной точкой а - компактное пространство, а топологическая сумма «Ы ф N - нет.
Этот результат, замечательный сам по себе, приобрёл дополнительный интерес в связи с тем, что В.Р. Лазарев (см., например, [4]) выделил новый класс гомеоморфизмов пространств функций - так называемые гомеоморфизмы со свойством конечного носителя. Этот класс шире, чем линейные гомеоморфизмы и не сравним с классом равномерных гомеоморфизмов. Таким образом, возник естественный вопрос, имеет ли гомеоморфизм (1) свойство конечного носителя. Положительный ответ означал бы, что компактность не сохраняется даже гомеоморфизмами пространств функций этого специального класса. С другой стороны, отрицательный ответ сделал бы актуальной проблему сохранения компактности гомеоморфизмами пространств функций со свойством конечного носителя.
Свойство конечного носителя (см. ниже, §1.2) определяется в терминах сопряженного отображения. Поэтому объектом исследования данной работы является сопряженное (или двойственное) отображение
У*:Ср(бр(аЫ)) ^ Ср(бр(аЫфЫ)) (2)
к гомеоморфизму (1).
Цель исследования: выяснить обладает ли гомеоморфизм U свойством конечного носителя, то есть, имеют ли функционалы LZ*(y) и (У-1)*(х) конечные носители для всех у £ аН и % £ ай ф N.
Исследование проводилось обычными методами общей топологии по определению функционала с конечным носителем.
В ходе исследования были решены следующие основные задачи:
• Изучено понятие сопряженного отображения и его основные свойства.
• Изучена конструкция сопряженного отображения U* к гомеоморфизму (1)
• Изучено понятие функционала с конечным носителем и гомеоморфизма со свойством конечного носителя.
• Найдены конечные носители образов проекционных функционалов Рп при сопряжённом отображении для n > 1.
• Доказано, что образ Р1 при сопряжённом отображении не имеет конечного носителя.
В параграфе 1.1. рассматривается понятие сопряженного отображения, а также доказываются его основные свойства. В параграфе 1.2. речь идет о понятии функционала с конечным носителем, а также об отображении и гомеоморфизме со свойством конечного носителя. Рассмотрены некоторые примеры, разобраны основные свойства и доказана теорема о композиции гомеоморфизмов со свойством конечного носителя.
В параграфе 2.1. представлено построение гомеоморфизма пространств с0 и s х с0 из [3] с иллюстрациями. В параграфе 2.2. получен основной результат, из которого следует, что отображение U: s х с0 ^ с0 не имеет свойства конечного носителя. В нем доказывается, что образ Р1 при сопряжённом отображении V* не имеет конечного носителя. Далее возникает естественный вопрос, что происходит с конечным носителем при рассмотрении образов проекционных функционалов Рп при сопряжённом отображении V* для n > 1. Подробный ответ дается в параграфе 2.3. Было выяснено, что образы Рп,п > 1 при сопряженном отображении V* имеют конечный носитель. В качестве возможной перспективы дальнейших исследований в параграфе 2.4. вводятся определения функционала со счетным носителем, а также отображения и гомеоморфизма со свойством счетного носителя.
Во всей работе через К обозначается множество вещественных чисел. Пространство s обозначает счетную топологическую степень вещественной прямой К. Таким образом, s = Ср(Н).
Под с0 мы будем понимать множество всех таких последовательностей х = (х1,х2,...), что хпбК для каждого п£М и iim(l>.;.; хп = 0. Мы рассматриваем пространство с0 в топологии поточечной сходимости (топология, индуцированная топологией произведения вещественных прямых).
Как известно, пространство Ср(аП) изоморфно пространству сходящихся числовых последовательностей с, а с, в свою очередь, изоморфно пространству
бесконечно малых последовательностей с0. Поэтому в работе мы не различаем пространства с0 и Ср(аП).
По этой же причине мы не различаем пространства sXc0 и Ср(П) X Ср(аП). Последнее, в свою очередь, канонически изоморфно Ср(аП ф П) (см., например, задачу S.114. [5]).
В 1986 году С. П. Гулько и Т. Е. Хмылева [3] показали, что этот результат Успенского нельзя обобщить на случай произвольного гомеоморфизма пространств функций. Они, в частности, построили гомеоморфизм между пространствами с0 и s X с0, наделёнными топологией поточечной сходимости, то есть гомеоморфизм
У:Ср(цЫфЫ) ^ Ср(аЫ), (1)
где, как известно, «Ы - компактификация множества N натуральных чисел одной точкой а - компактное пространство, а топологическая сумма «Ы ф N - нет.
Этот результат, замечательный сам по себе, приобрёл дополнительный интерес в связи с тем, что В.Р. Лазарев (см., например, [4]) выделил новый класс гомеоморфизмов пространств функций - так называемые гомеоморфизмы со свойством конечного носителя. Этот класс шире, чем линейные гомеоморфизмы и не сравним с классом равномерных гомеоморфизмов. Таким образом, возник естественный вопрос, имеет ли гомеоморфизм (1) свойство конечного носителя. Положительный ответ означал бы, что компактность не сохраняется даже гомеоморфизмами пространств функций этого специального класса. С другой стороны, отрицательный ответ сделал бы актуальной проблему сохранения компактности гомеоморфизмами пространств функций со свойством конечного носителя.
Свойство конечного носителя (см. ниже, §1.2) определяется в терминах сопряженного отображения. Поэтому объектом исследования данной работы является сопряженное (или двойственное) отображение
У*:Ср(бр(аЫ)) ^ Ср(бр(аЫфЫ)) (2)
к гомеоморфизму (1).
Цель исследования: выяснить обладает ли гомеоморфизм U свойством конечного носителя, то есть, имеют ли функционалы LZ*(y) и (У-1)*(х) конечные носители для всех у £ аН и % £ ай ф N.
Исследование проводилось обычными методами общей топологии по определению функционала с конечным носителем.
В ходе исследования были решены следующие основные задачи:
• Изучено понятие сопряженного отображения и его основные свойства.
• Изучена конструкция сопряженного отображения U* к гомеоморфизму (1)
• Изучено понятие функционала с конечным носителем и гомеоморфизма со свойством конечного носителя.
• Найдены конечные носители образов проекционных функционалов Рп при сопряжённом отображении для n > 1.
• Доказано, что образ Р1 при сопряжённом отображении не имеет конечного носителя.
В параграфе 1.1. рассматривается понятие сопряженного отображения, а также доказываются его основные свойства. В параграфе 1.2. речь идет о понятии функционала с конечным носителем, а также об отображении и гомеоморфизме со свойством конечного носителя. Рассмотрены некоторые примеры, разобраны основные свойства и доказана теорема о композиции гомеоморфизмов со свойством конечного носителя.
В параграфе 2.1. представлено построение гомеоморфизма пространств с0 и s х с0 из [3] с иллюстрациями. В параграфе 2.2. получен основной результат, из которого следует, что отображение U: s х с0 ^ с0 не имеет свойства конечного носителя. В нем доказывается, что образ Р1 при сопряжённом отображении V* не имеет конечного носителя. Далее возникает естественный вопрос, что происходит с конечным носителем при рассмотрении образов проекционных функционалов Рп при сопряжённом отображении V* для n > 1. Подробный ответ дается в параграфе 2.3. Было выяснено, что образы Рп,п > 1 при сопряженном отображении V* имеют конечный носитель. В качестве возможной перспективы дальнейших исследований в параграфе 2.4. вводятся определения функционала со счетным носителем, а также отображения и гомеоморфизма со свойством счетного носителя.
Во всей работе через К обозначается множество вещественных чисел. Пространство s обозначает счетную топологическую степень вещественной прямой К. Таким образом, s = Ср(Н).
Под с0 мы будем понимать множество всех таких последовательностей х = (х1,х2,...), что хпбК для каждого п£М и iim(l>.;.; хп = 0. Мы рассматриваем пространство с0 в топологии поточечной сходимости (топология, индуцированная топологией произведения вещественных прямых).
Как известно, пространство Ср(аП) изоморфно пространству сходящихся числовых последовательностей с, а с, в свою очередь, изоморфно пространству
бесконечно малых последовательностей с0. Поэтому в работе мы не различаем пространства с0 и Ср(аП).
По этой же причине мы не различаем пространства sXc0 и Ср(П) X Ср(аП). Последнее, в свою очередь, канонически изоморфно Ср(аП ф П) (см., например, задачу S.114. [5]).
В результате проделанной работы были изучены понятия сопряженного отображения, функционала с конечным носителем и отображения со свойством конечного носителя, а также доказаны их свойства. С помощью введенных понятий и их установленных свойств было проведено исследование сопряженного отображения V* к гомеоморфизму V: с0 ^ с0, являющемуся основным элементом конструкции отображения U: с0 ^ 5 X с0 из [3].
В качестве метода исследования использовалась проверка по определению 1.2.1. функционала с конечным носителем. Рассматривались функционалы v*(Pn), где п£М. В результате была доказана теорема 2.2.1. о том, что функционал v*(Pi) не имеет конечного носителя. Отсюда по определению 1.2.3. вытекает следующий факт:
Теорема. Гомеоморфизм V: с0 ^ с0 не имеет свойства конечного носителя.
Из этой теоремы следует, что отображение
«:К X с0 ^ с0, u(r, х) = v(n(r), xi, х2,..)
также не имеет свойства конечного носителя. Действительно,
u*(Pi)(r,x) = (v °U0)*(Pi)(r,x) = (v(n(r),xi,x2,^))1 = v*(Pi)(n(r),Xi,x2,...).
Применяя теперь теорему 2.2.1. заключаем, что функционал V*(PI) не имеет конечного носителя.
Значит, для любого i гомеоморфизм Щ: K X (с0)[ ^ (с0)[ не имеет свойства конечного носителя. Здесь N = Ц^^ - разбиение натурального ряда на бесконечные подмножества Nj, а для каждого i, K = K (экземпляры вещественной прямой).
Не теряя общности, можно считать, что 1 6 ^.Рассмотрим U: s X с0 ^ с0. Так как 1 6 Ni, то U*(PI) = U*(PI), а из рассуждений выше следует, что такой функционал не имеет конечного носителя. По определению 1.2.3. U не имеет свойства конечного носителя.
Установление этого факта является основным результатом данной работы. Исследуемый гомеоморфизм U: s X с0 ^ с0 - хороший пример отображения, не имеющего свойства конечного носителя. Полученный результат делает актуальной проблему сохранения компактности гомеоморфизмами пространств функций со свойством конечного носителя.
Однако автогомеоморфизм V имеет очень интересную структуру, поэтому следующим вопросом для изучения стали функционалы v*(Pn), когда п > 1. В параграфе
2.3. подробно освещен вопрос о том, что происходит с функционалами v*(Pn), когда п > 1. Оказывается, что такие функционалы имеют конечный носитель. Напомним, что отображение v:c0 ^ с0,
v = lim un о ... о u1,
n^ro
где каждое un влияет на первую и (п + 1) координаты. Нетрудно заметить, что главное отличие первого проекционного функционала от последующих заключается в том, что на первую координату влияет счетное число отображений, а на остальные всего одно. Поэтому сколько бы точек мы ни поместили в носитель v*(P1), все равно будет нарушаться пункт 1. определения 1.2.1.
По отдельности каждый функционал u^(Pn) имеет конечный носитель для любых к, п Е N. Следовательно, по замечанию 1.2.11. функционал
V*k(Pn) = (u*ko.ou{)(Pn)
тоже имеет конечный носитель. В предельном же случае при п = 1 все нарушается.
На основе полученных результатов для v*(P1) было введено определение функционала со счетным носителем, а также отображения и гомеоморфизма со свойством счетного носителя. Эти определения схожи по структуре с определениями 1.2.1., 1.2.2. и
1.2.3. В качестве одного из возможных дальнейших путей развития данной работы, рассматривается исследование свойств функционалов со счетным носителем и их сравнение со свойствами функционалов с конечным носителем, а также рассмотрение конкретных примеров таких функционалов.
В качестве метода исследования использовалась проверка по определению 1.2.1. функционала с конечным носителем. Рассматривались функционалы v*(Pn), где п£М. В результате была доказана теорема 2.2.1. о том, что функционал v*(Pi) не имеет конечного носителя. Отсюда по определению 1.2.3. вытекает следующий факт:
Теорема. Гомеоморфизм V: с0 ^ с0 не имеет свойства конечного носителя.
Из этой теоремы следует, что отображение
«:К X с0 ^ с0, u(r, х) = v(n(r), xi, х2,..)
также не имеет свойства конечного носителя. Действительно,
u*(Pi)(r,x) = (v °U0)*(Pi)(r,x) = (v(n(r),xi,x2,^))1 = v*(Pi)(n(r),Xi,x2,...).
Применяя теперь теорему 2.2.1. заключаем, что функционал V*(PI) не имеет конечного носителя.
Значит, для любого i гомеоморфизм Щ: K X (с0)[ ^ (с0)[ не имеет свойства конечного носителя. Здесь N = Ц^^ - разбиение натурального ряда на бесконечные подмножества Nj, а для каждого i, K = K (экземпляры вещественной прямой).
Не теряя общности, можно считать, что 1 6 ^.Рассмотрим U: s X с0 ^ с0. Так как 1 6 Ni, то U*(PI) = U*(PI), а из рассуждений выше следует, что такой функционал не имеет конечного носителя. По определению 1.2.3. U не имеет свойства конечного носителя.
Установление этого факта является основным результатом данной работы. Исследуемый гомеоморфизм U: s X с0 ^ с0 - хороший пример отображения, не имеющего свойства конечного носителя. Полученный результат делает актуальной проблему сохранения компактности гомеоморфизмами пространств функций со свойством конечного носителя.
Однако автогомеоморфизм V имеет очень интересную структуру, поэтому следующим вопросом для изучения стали функционалы v*(Pn), когда п > 1. В параграфе
2.3. подробно освещен вопрос о том, что происходит с функционалами v*(Pn), когда п > 1. Оказывается, что такие функционалы имеют конечный носитель. Напомним, что отображение v:c0 ^ с0,
v = lim un о ... о u1,
n^ro
где каждое un влияет на первую и (п + 1) координаты. Нетрудно заметить, что главное отличие первого проекционного функционала от последующих заключается в том, что на первую координату влияет счетное число отображений, а на остальные всего одно. Поэтому сколько бы точек мы ни поместили в носитель v*(P1), все равно будет нарушаться пункт 1. определения 1.2.1.
По отдельности каждый функционал u^(Pn) имеет конечный носитель для любых к, п Е N. Следовательно, по замечанию 1.2.11. функционал
V*k(Pn) = (u*ko.ou{)(Pn)
тоже имеет конечный носитель. В предельном же случае при п = 1 все нарушается.
На основе полученных результатов для v*(P1) было введено определение функционала со счетным носителем, а также отображения и гомеоморфизма со свойством счетного носителя. Эти определения схожи по структуре с определениями 1.2.1., 1.2.2. и
1.2.3. В качестве одного из возможных дальнейших путей развития данной работы, рассматривается исследование свойств функционалов со счетным носителем и их сравнение со свойствами функционалов с конечным носителем, а также рассмотрение конкретных примеров таких функционалов.
