АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ С S-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Предварительные обозначения и терминология 6
2 Обобщенная производная 11
2.1 Определение обобщённой производной 11
2.2 Существование обычных и обобщённых производных 12
2.3 Свойства обобщённых производных 16
3 Отображения с s-усредненной характеристикой 17
3.1 Определение отображений с s-усредненной характеристикой 17
3.2 Вспомогательные оценки 17
3.3 Пример отображения с s-усредненной характеристикой 19
4 Основные результаты
4.1 Теорема о сходимости последовательностей отображений с KI, s * - усредненной характеристикой к непрерывному отображению f ,f' D ^ R 22
4.2 О поведении отображения с s-усредненной характеристикой в окрестности особой изолированной точки 25
4.3 О непрерывности отображений с s-усредненной характеристикой 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 34

Купить

Теория плоских квазиконформных отображений, как обобщение классических конформных отображений, возникла в 30-х годов XX века в работах М.А. Лаврентьева [1] и Г. Греча [2]. Ее зарождение было обусловлено как внутренними потребностями комплексного анализа, так и его практическими приложениями к разным задачам гидродинамики [3, 4].
Понятие пространственного гомеоморфного квазиконформного отображения было введено М. А. Лаврентьевым [5] в 1938 г. Интерес к изучению класса пространственных квазиконформных отображений связан с тем, что он достаточно широк по сравнению с классом пространственных конформных отображений, который, согласно известной теореме Лиувилля (1850 г.), исчерпывается лишь преобразованиями Мебиуса, т.е. суперпозициями инверсий относительно сфер и плоскостей.
Начало интенсивных исследований в этой области пространственных квазиконформных отображений относится к концу 50-х и началу 60-х годов XX века. Одна из причин этого состояла в том, что методы, развитые для исследования плоских (не гомеоморфных) квазиконформных отображений, оказались непригодными для изучения пространственных квазиконформных отображений, так как они в основном основывались на теории конформных отображений. Поэтому появилась необходимость создания новых методов, заменяющих аппарат конформных отображений. Таким методом оказался метод модулей семейств кривых и поверхностей. Наиболее существенный вклад в развитие теории пространственных квазиконформных отображений в эти годы внесли М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, П.П. Белинский, Ю. Г. Решетняк, В. А. Зорич, Г. Д. Суворов, А. В. Сычев, И. П. Митюк, В. М. Гольдштейн, В. В. Кривов, В. М. Миклюков, С. Л. Крушкаль, Б. П. Куфарев, В.
B. Асеев, С. К. Водопьянов, А. П. Копылов, Л. Альфорс, Ф. Геринг, О. Мартио,
C. Рикман, Ю. Вяйсяля, М. Вуоринен, Г. Андерсон, Р. Някки и др.
В эти же годы наряду с продолжающимся развитием теории квазиконформных отображений начинается изучение квазиконформных отображений в пространстве (п > 3), называемых отображениями с ограниченным искажением (или квазирегулярными отображениями). Аналитические методы исследования этих отображений были разработаны Ю.Г. Решетняком [6], а геометрический метод (как и в случае квазиконформных отображений) - метод модулей, основанный на свойстве квазиинвариантности конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, был предложен Ю. Вяйсяля, О. Мартио, С. Рикманом [7], А.В.Сычевым [8] и Е. А. Полецким [9].
Естественным обобщением квазиконформных отображений являются гомеоморфные отображения, квазиконформные в среднем, поскольку в пространстве (п > 3) существуют достаточно простые области, гомеоморфные шару, которые невозможно квазиконформно отображать на шар. Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, рассматривались в работах С.Л. Крушкаля [10], В.М. Миклюкова [11], Ю.Ф. Стругова [12], В. М. Кругликова [13], А. Н. Малютиной [14].
Разработке же общих геометрических методов, использующих емкостную технику, и их применению при исследовании свойств отображений, квазиконформных в среднем, посвящен ряд статей В.И. Кругликова (см., напр., [15], [13]). Эти методы отражают законы искажения емкостей конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, и по своей значимости они подобны соответствующим геометрическим методам в теории квазиконформных отображений.
В последнее десятилетие XX века и до настоящего времени интенсивно изучаются различные отображения с конечным искажением [16, 17, 18, 19] и др., естественным образом обобщающие конформные, квазиконформные и квазирегулярные отображения. Во всех этих обобщениях, как и в классической теории, модульная техника играет ключевую роль. Имея в виду такую значимость модульной техники и теоремы «Об оценке», профессор О. Мартио предложил следующую общую концепцию - теорию Q- гомеоморфизмов, основы которой были заложены в работах [20], [21], [22], а в работе [23] концепция Q гомеоморфизмов была распространена на отображения с ветвлением, так называемые Q-отображения. Основной целью теории Q гомеоморфизмов является изучение взаимосвязей свойств отображения f со свойствами мажоранты Q(x), для отображений s-усредненной характеристикой. можно взять характеристику, когда s = п. для остальных 5 наш класс шире.
Выпускная квалификационная работа посвящена изучению отображений, имеющих обобщенную производную, суммируемую со степенью п, отображений с s-усредненной характеристикой, ставится задача:
1) доказать теорему о полунепрерывности отображений с s-усредненной характеристикой снизу,
2) доказать теорему о поведении отображения с s-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки,
3) исследовать непрерывность отображений с s-усредненной характеристикой, найти классы и подклассы отображений с s- усредненной характеристикой, удовлетворяющие этим условиям.
В настоящей выпускной квалификационной работе мы рассматриваем пространственное негомеоморфное отображение с s- усредненной характеристикой, как обобщение понятия квазиконформного в среднем отображения. Мы продолжаем развитие метода модулей для изучения аналитических свойств отображений с s-усредненной характеристикой, исследование классов отображений с s-усредненной характеристикой и установление взаимосвязей с другими классами, например, пространственных n
отображений класса ВС, что позволит распространить некоторые свойства последних на класс исследуемых отображений.

Купить